深圳大学土木工程专业博士研究生招生《工程数学》考试大纲.pdf
1 工 程 数 学 考 试 大 纲一 、 基 本 信 息 : 工 程 数 学 考 试 内 容 主 要 包 括 高 等 数 学 和 线 性 代 数 两 部 分 , 主 要 题 型 为 选 择 题 和 计 算题 。 答 题 方 式 为 笔 试 、 闭 卷 。 考 试 时 间 为 120 分 钟 , 试 卷 总 分 为 100 分 , 其 中 高 等 数 学 约70%, 线 性 代 数 约 30%。二 、 考 试 内 容1. 函 数 、 极 限 、 连 续( 1) 分 段 函 数 概 念 ; 函 数 的 有 界 性 、 ( 严 格 ) 单 调 性 、 奇 偶 性 、 周 期 性 以 及 他 们 各 自 反 映 在函 数 图 形 上 的 特 点 ; 反 函 数 与 隐 函 数 的 概 念 ; 函 数 极 限 的 唯 一 性 , 有 界 性 , 保 号 性 ; 无 穷 小 ,无 穷 大 、 高 阶 无 穷 小 和 等 价 无 穷 小 的 概 念 ; 函 数 的 左 连 续 与 右 连 续 的 概 念 ; 初 等 函 数 的 连 续性 ; 闭 区 间 上 连 续 函 数 的 性 质 。( 2) 函 数 、 区 间 及 邻 域 等 概 念 ; 复 合 函 数 及 初 等 函 数 的 概 念 ; 极 限 的 概 念 ; 函 数 的 左 、 右极 限 及 其 与 函 数 极 限 的 关 系 ; 函 数 在 一 点 连 续 的 概 念 ; 函 数 在 一 个 区 间 上 连 续 的 概 念 。( 3) 基 本 初 等 函 数 的 性 质 及 其 图 形 ; 极 限 的 四 则 运 算 法 则 。2. 导 数 、 微 分 及 应 用( 1) 函 数 的 可 导 性 与 连 续 性 的 关 系 ; 高 阶 导 数 概 念 ; 微 分 的 几 何 意 义 及 函 数 的 可 微 性 与 可导 性 的 关 系 。 导 数 的 几 何 意 义 ; 微 分 的 概 念 。 初 等 函 数 的 一 阶 、 二 阶 导 数 的 求 法 。 求 隐 函 数和 参 数 式 所 确 定 的 函 数 的 一 阶 导 数 以 及 比 较 简 单 的 二 阶 导 数 。( 2) 罗 尔 定 理 、 拉 格 朗 日 定 理 、 柯 西 定 理 、 泰 勒 定 理 、 罗 必 达 法 则 ; 函 数 插 值 的 思 想 和 一些 方 法 。 函 数 的 极 值 概 念 。 用 导 数 判 断 函 数 的 单 调 性 和 求 极 值 的 方 法 ; 函 数 图 形 的 凹 凸 性 及其 判 定 法 。( 3) 基 本 初 等 函 数 的 性 质 及 其 图 形 ; 极 限 的 四 则 运 算 法 则 。3. 不 定 积 分 、 定 积 分 及 应 用( 1) 简 单 的 有 理 函 数 、 三 角 函 数 有 理 式 和 简 单 的 无 理 函 数 的 积 分 法 。 原 函 数 和 不 定 积 分 的概 念 。 不 定 积 分 基 本 公 式 和 不 定 积 分 换 元 法 和 分 部 积 分 法 。( 2) 定 积 分 的 性 质 、 定 积 分 的 中 值 定 理 ; 两 种 广 义 积 分 的 概 念 , 用 定 义 求 解 较 简 单 的 广 义积 分 , 定 积 分 数 值 计 算 的 思 想 和 一 些 方 法 。 定 积 分 的 概 念 和 几 何 意 义 ; 变 上 限 的 定 积 分 作 为其 上 限 的 函 数 及 其 求 导 定 理 。 牛 顿 -莱 布 尼 兹 公 式 ; 定 积 分 的 换 元 法 和 分 部 积 分 法 。( 3) 元 素 法 的 思 想 , 用 定 积 分 求 一 些 几 何 量 和 物 理 量 的 方 法 , 建 立 一 些 几 何 量 与 物 理 量 的积 分 表 达 式 ( 如 面 积 、 体 积 、 弧 长 、 功 、 水 压 力 等 ) 。24. 向 量 代 数 与 空 间 解 析 几 何( 1) 平 面 与 平 面 、 直 线 与 直 线 、 平 面 与 直 线 的 夹 角 , 平 行 , 垂 直 的 条 件 , 点 到 平 面 的 距 离 ;曲 面 方 程 的 概 念 。 以 坐 标 轴 为 旋 转 轴 的 旋 转 曲 面 方 程 ( 包 括 圆 锥 面 ) 及 母 线 平 行 与 坐 标 轴 的柱 面 方 程 , 并 画 出 这 些 方 程 的 图 形 ; 空 间 曲 线 的 一 般 方 程 和 参 数 方 程 。 常 用 的 二 次 曲 面 的 方程 及 其 图 形 。( 2) 向 量 的 和 、 差 、 数 与 向 量 的 乘 积 , 数 量 积 和 向 量 积 的 概 念 与 运 算 。 向 量 的 坐 标 表 达 以及 向 量 的 模 , 方 向 余 弦 及 单 位 向 量 的 坐 标 表 达 式 ; 平 面 方 程 ( 点 法 式 、 一 般 式 ) 和 直 线 方 程( 一 般 式 、 对 称 式 ) 及 其 求 法 。5 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用( 1) 二 元 函 数 的 极 限 与 连 续 概 念 ; 有 界 闭 域 上 连 续 函 数 的 性 质 ( 最 大 、 最 小 值 定 理 及 介 值定 理 的 叙 述 ) , 多 元 初 等 函 数 的 连 续 性 ; 全 微 分 存 在 的 必 要 条 件 和 充 分 条 件 , 二 元 函 数 偏 导数 的 几 何 意 义 。( 2) 二 元 函 数 、 偏 导 数 及 全 微 分 的 概 念 ; 二 元 函 数 极 值 的 概 念 。 求 偏 导 数 及 全 微 分 的 方 法 。6 重 积 分( 1) 二 重 积 分 的 计 算 方 法 ( 直 角 坐 标 , 极 坐 标 ) 。( 2) 三 重 积 分 的 概 念 , 重 积 分 的 性 质 。7 无 穷 级 数( 1) 级 数 收 敛 的 必 要 条 件 。 无 穷 级 数 的 基 本 性 质 ; 几 何 级 数 与 p 级 数 的 敛 散 性 ; 函 数 项级 数 的 收 敛 域 及 和 函 数 的 概 念 。 幂 级 数 在 其 收 敛 区 间 内 的 一 些 基 本 性 质 , 求 幂 级 数 的 和 函 数 ;幂 级 数 在 其 收 敛 区 间 内 的 一 些 性 质 。 函 数 展 开 为 泰 勒 级 数 的 充 要 条 件 及 函 数 展 开 为 幂 级 数 的唯 一 性 ; 函 数 的 傅 立 叶 系 数 , 傅 立 叶 级 数 以 及 函 数 展 开 成 傅 立 叶 级 数 的 狄 利 克 雷 充 分 条 件 。( 2) 正 项 级 数 的 比 值 审 敛 法 ; 交 错 级 数 的 莱 布 尼 兹 定 理 。 利 用 xe , sin ,cos ,ln 1x x x 和 1 mx 的 马 克 劳 林 展 开 式 , 利 用 这 些 展 开 式 将 一 些 简 单 的 函 数 展 成 幂 级 数 。 将 定 义 在 , 和 ,l l 上 的 函 数 展 开 为 傅 立 叶 级 数 ; 将 定 义 在 0,1 上 的 函 数 展 开 为 正 弦 或 余 弦 级 数 。8 微 分 方 程( 1) 二 阶 线 性 微 分 方 程 解 的 结 构 ; 高 阶 常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方 程 的 解 法 ; 自 由 项 为 多 项 式 ,指 数 函 数 , 正 弦 函 数 , 余 弦 函 数 以 及 它 们 的 和 与 乘 积 的 二 阶 常 系 数 非 齐 次 线 性 微 分 方 程 的 通解 和 特 解 的 求 法 。( 2) 微 分 方 程 、 阶 、 解 、 通 解 、 初 始 条 件 和 特 解 的 概 念 。 变 量 可 分 离 方 程 和 一 阶 线 性 方 程的 解 法 ; 二 阶 线 性 齐 次 线 性 常 系 数 微 分 方 程 的 解 法 。39 行 列 式( 1) 行 列 式 的 基 本 概 念 , 行 列 式 的 性 质 , 行 列 式 按 行 ( 列 ) 展 开 , 克 莱 姆 法 则 。( 2) 二 阶 与 三 阶 行 列 式 的 计 算 方 法 , 计 算 n 阶 行 列 式 的 基 本 方 法 。10 矩 阵( 1) 矩 阵 及 其 秩 、 初 等 矩 阵 、 矩 阵 可 逆 的 概 念 ; 矩 阵 可 逆 的 一 系 列 充 要 条 件 ; 初 等 变 换 的概 念 ; 行 阶 梯 矩 阵 、 行 最 简 型 矩 阵 、 标 准 型 的 概 念 。( 2) 矩 阵 的 运 算 规 律 : 加 、 减 、 数 乘 、 乘 、 转 置 等 ; 初 等 变 换 化 矩 阵 为 行 阶 梯 型 、 行 最 简型 、 标 准 型 的 方 法 ; 判 断 矩 阵 可 逆 的 各 种 方 法 , 以 及 求 矩 阵 逆 的 伴 随 矩 阵 法 与 初 等 变 换 法 ;用 初 等 变 化 求 矩 阵 的 秩 、 解 矩 阵 方 程 的 方 法 。11 线 性 方 程 组( 1) 线 性 相 ( 无 ) 关 性 的 概 念 , 向 量 组 的 秩 , 向 量 空 间 及 其 维 数 、 基 的 概 念 ; 线 性 方 程 组解 的 性 质 的 判 定 原 理 , 以 及 解 的 结 构 。( 2) 判 断 向 量 组 线 性 相 ( 无 ) 关 性 的 方 法 ; 利 用 矩 阵 的 初 等 行 变 换 求 向 量 组 的 极 大 无 关 组 、求 解 线 性 方 程 组 的 方 法 。12 矩 阵 的 特 征 值( 1) 向 量 内 积 、 向 量 正 交 、 矩 阵 的 特 征 值 与 特 征 向 量 等 基 本 概 念 ; 矩 阵 的 相 似 性 的 定 义 及其 判 断 相 似 性 的 定 理 。( 2) 向 量 组 的 正 交 化 方 法 ; 求 矩 阵 特 征 值 与 特 征 向 量 的 方 法 ; 化 实 对 称 矩 阵 为 对 角 矩 阵 的正 交 变 换 法 。13 二 次 型( 1) 实 二 次 型 与 实 对 称 矩 阵 的 相 互 转 化 关 系 ; 二 次 型 的 秩 与 矩 阵 秩 的 关 系 ; 正 定 矩 阵 的 判定 定 理 。( 2) 正 定 二 次 型 与 正 定 矩 阵 的 判 定 方 法 。