2021年全国硕士研究生入学考试数学三模拟卷(二) (闭卷笔试180分钟) 题号一二三 分数 一、选择题（1-10小题，每小题5分，共50分，只有一个选项符合要求） 1.极限lim n!1 n k=1 k (n+k)(n+k+1)的值为( ) (A)ln2 12 (B)12 (C)ln2 (D)12 ln2 答案：A.提示：用夹逼准则，先放缩然后转化为定积分计算. 2.设函数f(x)在( 1;+1)内连续，其一阶导数f(x)的图形如图1所示，并设在f(x)存在处，f(x) 均存在，则曲线y = f(x)的拐点个数为( ) (A)0 (B)1 (C2 (D)3 图1:一阶导数的图像 答案：B 3.设函数f(x) 0且单调递增，则积分： I1 = 20 f(x)sinx dx;I2 = 20 f(x)cosx dx;I3 = 20 f(x)tanx dx的大小顺序为( ) (A)I1 I2 I3 (B)I1 I3 I2 (C)I2 I3 I1 (D)I3 I1 I2 答案：D 4.设a 0;f(x) = g(x) = a; 0 x 1; 0;其他而D表示全平面，则I = D f(x)g(y x)dx dy=( ) (A)a (B)a2 (C)1 (D)0 答案：B 5.已知微分方程y 4y + ay = xebx的通解形式为y = c1e2x + c2xe2x + (Ax + B)ebx，则( ) (A)a = 4;b = 2 (B)a = 4;b = 2 (C)a = 4;b = 2 (D)a = 4;b = 2 答案：B 6.设函数f(x)在x = 0的某领域内有连续一阶导数，极限lim x!0 f(x) x = 2，则级数 1 n=1 ( 1)nf (1n)为( ) (A)绝对收敛(B)条件收敛 (C)发散(D)无法判断 答案：B 第1页,共4页 7.设A，B均为三阶非零矩阵，满足AB = 0，其中B = 0 BB 1 1 1 2a 1 a 2a a a a2 2 1 CC A，则( ) (A)a = 2时，必有r(A) = 1 (B)a = 2时，必有r(A) = 2 (C)a = 1时，必有r(A) = 1 (D)a = 1时，必有r(A) = 2 答案：A 8.设A为四阶实对称矩阵，其特征值为 1 = 2 = 1; 3 = 2; 4 = 3相应的特征向量依次为p1;p2;p3;p4， 且p1;p2线性无关，令P = (4p4;5p3;p1 + p2;p1 p2)，则P 1AP =( ) (A) 0 BB BB 4 5 2 0 1 CC CC A (B) 0 BB BB 4 5 1 1 1 CC CC A (C) 0 BB BB 1 1 2 3 1 CC CC A (D) 0 BB BB 3 2 1 1 1 CC CC A 答案：D 9.设随机变量X和Y，且X Y，记FX(x)和FY (y)分别为随机变量X和Y的分布函数，F(x;y)为 (X;Y )的分布函数，则对任意的t，有( ) (A)FX(t) FY (t);F(t;t) = FX(t) (B)FY (t) FX(t);F(t;t) = FX(t) (C)FX(t) FY (t);F(t;t) = FY (t) (D)FY (t) FX(t);F(t;t) = FY (t) 答案：D 10.设随机变量X的方差存在，并有下列四个结论： (1)jEXj EjXjE(X2); (2) jEXjE(X2) EjXj (3) EjX EXjpDX E(X2); (4) pDX E(X2 EjX EXj 其中正确结论的个数为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 答案：B 二、填空题（11-16小题，每小题5分，共30分） 11.设f(x) = arctan2x,则f(2021)(0)=2020!22021 12.已知lim x!0 p 1+f(x)sin2x 1 e3x2 1 = 2，求limx!0 f(x) x =6 13.计算+11 dxxpx 1= 14.差分方程yx+1 3yx = 2 3x的通解为yx = C3x+ 23x3x,C为任意常数 第2页,共4页 15.设A = (aij)是3阶非零矩阵，jAj为A的行列式，Aij为aij的代数余子式.若aij+Aij = 0(i j = 1;2;3， 则jAj = -1 16.随机试验E有三种两两不相容的结果A1;A2;A3，且三种结果发生的概率均为13将试验E独立重复做 2次，X表示2次试验中结果A1发生的次数，Y表示2次试验中结果A2发生的次数，则X与Y的 相关系数为 12 三、简答题（17-22小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. (本题满分10分) 设f(x)具有二阶连续导数，f(0) = 0;f(0) = 0;f(x) 0，在曲线y = f(x)上的任意一点(x;f(x)(x = 0)处做此曲线的切线，交x轴于点(u;0)，求lim x!0 xf(u) uf(x) 答案：lim x!0 xf(u) uf(x) = 1 2 18. (本题满分10分) 设a为常数且大于零，f(x) = xea aex x + a.证明：当x a时，f(x) 0. 答案： 19. (本题满分10分) 计算二重积分I = D x2 + y2 1 dxdy，区域D : y = p2x x2与x轴围成. 答案： 18 169 + 3 p3 2 20. (本题满分10分) 证明：假设f(x)在0;1上二阶连续可微，lim x!0+ f(x) x 0;F(x) = f 2(x),则 (1)存在 ; 2 (0;1)，使得F( ) = F( ) = 0. 第3页,共4页 (2)存在 2 ( ; ),使得F( ) = F( ) F( ) . 答案： 证明： (1)由lim x!0 f(x) x 0;8 2 R.使f(x1) 0;9x2 2 (x1;1)，使 得：f(x2) = 0;(零点定理) 由于f(0) = f(x3) = 0,由罗尔定理知：9x3 2 (0;x2),使f(x3) = 0 由F(x) = f2(x) ) F(x) = 2f(x)f(x). 由F(0) = F(x2) = F(x3) = 0,运用两次罗尔定理可知：9 2 (0;x3);9 2 (x3;x2)，使F( ) = F( ) = 0 (2)(本题难度较大) 令g(x) = F(x) F( )x ,易知,g( ) = 0 ) g(x) = F(x)(x ) (F(x) F( )(x )2 ;易知,g( ) = 0;g( ) = (F( ) F( )( )2 = g( ) ) g( )g( ) 0; x ，其中 和 ( 0)均为未知参数，X1;X2;:;Xn 是来自总体X的样本. (I)求未知参数 和 的矩估计量 (II)求未知参数 和 的最大似然估计量 答案：(I) 8 : 1 = 1 n n i=1 (X i X )2 1 = X 1 n n i=1 (X i X )2 (II) 8 : 2 = X min 1in Xi 2 = min 1in Xi 第4页,共4页