2021年数三模拟卷三题目+答案3.pdf
2021年全国硕士研究生入学考试数学三模拟卷(三) (闭卷笔试180分钟) 题号一二三 分数 一、选择题(1-10小题,每小题5分,共50分,只有一个选项符合要求) 1.已知x = 0是函数f(x) = ax ln(1+x)x+bsinx的可去间断点,则a;b的取值范围是(D ) (A)a = 1;b为任意实数(B)a = 1;b为任意实数 (C)b = 1;a为任意实数(D)b = 1;a为任意实数 2.设f(x)在x = 0处二阶可导,f(0) = 0,若lim x!0 f(x)+f(2x) sinx = 1,则(B ) (A)f(0)是f(x)的极大值(B)f(0)是f(x)的极小值 (C)(0;f(0)是曲线f(x)的拐点(D)以上结论均不正确 3.设I1 = 20 sinxx dx;I2 = 20 xsinx dx,则有结论(B ) (A)I2 1 I1 (B)I2 I1 1 (C)1 I2 I1 (D)1 I1 I2 4.设平面点集D = f(x;y) j 0 y x2; 1 x xg = 0:05,则Pf1x F 0;ai = 1;i = 1;2 ;n;n 2为确定的整数,则极限lim x!0 ( ax1+ax2+ +axn n )1x = npa1a2 an 解析: 令f(x) = ( ax1+ax2+ +axn n )1x ,则由洛必达法则得: 12.已知微分方程y + y = sinx + cosx的解均为微分方程y + y + ay = f(x)的解,其中a为常数,则 f(x)=cosx sinx 13.设函数f(x) = 1 1x2; x 0;f(0)f(12) 0),其中二次型矩阵A的特征值之和为1,特 征值之积为 12. (I)求a,b的值. (II)利用正交变换将二次型化为标准型,并写出所作的正交变换和对应的正交矩阵. 答案:(I)a=1,b=2 (II)f = 2y21 + 2y22 3y23,Q = 0 BB 0 2p5 1p5 1 0 0 0 1p5 2p5 1 CC A 22. (本题满分15分) 设二维随机变量(X;Y )的分布函数为F(x;y) = 8 : 0; x 0或y 0 1 2 (1 e x); x 0;0 y 1 1 e x; x 0;y 1 . (I)分别求X和Y的概率分布. (II)问X和Y是否相互独立? (III)求PfX + Y 2g答案: 第5页,共6页 第6页,共6页