获 得 更 多 考 研 资 料 可 关 注 公 众 号 ： 掌 腾 考 研 高端定校考研精品学习平台 1 目录 2016年全国硕士研究生入学统一考试数学二真题 . 2 2016年全国硕士研究生入学统一考试数学二真题解析 . 6 2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二真题 . 19 2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二真题解析 . 23 2018年全国硕士研究生入学统一考试数学二真题 . 34 2018年全国硕士研究生入学统一考试数学二真题解析 . 37 2019年全国硕士研究生入学统一考试数学二真题 . 51 2019年全国硕士研究生入学统一考试数学二真题解析 . 55 2020 年全国硕士研究生入学统一考试数学二真题 . 66 2020 年全国硕士研究生入学统一考试数学二真题解析 . 69获 得 更 多 考 研 资 料 可 关 注 公 众 号 ： 掌 腾 考 研 高端定校考研精品学习平台 2 2 01 6 年 全国 硕士 研 究生 入学 统一 考 试数 学二 真 题 一、选择题： 1 8 小题，每小题 4 分，共 3 2 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上 . （ 1）设 3 3 1 2 3 cos 1 , ln 1 , 1 1 a x x a x x a x .当 0 x 时，以上 3 个无 穷小量按照从低阶到高阶的排序是（ ） （A） 1 2 3 , , . a a a （B） 2 3 1 , , . a a a （C） 2 1 3 , , . a a a （D） 3 2 1 , , . a a a （ 2）已知函数 2 1 , 1 ln , 1 x x f x x x ，则 f x 的一个原函数是（ ） 2 2 2 2 1 , 1 1 , 1 ln 1 , 1. ln 1 1, 1. 1 , 1 1 , 1 ln 1 1, 1. ln 1 1, 1. x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x （ 3）反常积分 1 0 2 1 , x e d x x 1 2 0 1 x e dx x 的敛散性为 ( ) （A）收敛收敛. （B）收敛发散. （C）收敛收敛. （D）发散发散. （ 4）设函数 ( ) f x 在 , 内连续，其导函数的图形如图所示，则 ( ) （A）函数 ( ) f x 有 2 个极值点，曲线 ( ) y f x 有 2 个拐点 . （B）函数 ( ) f x 有 2 个极值点，曲线 ( ) y f x 有 3 个拐点 . （C）函数 ( ) f x 有 3 个极值点，曲线 ( ) y f x 有 1 个拐点 . （D）函数 ( ) f x 有 3 个极值点，曲线 ( ) y f x 有 2 个拐点获 得 更 多 考 研 资 料 可 关 注 公 众 号 ： 掌 腾 考 研 高端定校考研精品学习平台 3 ( 5 )设函数 ( )( 1, 2) i f x i 具有二阶连续导数，且 0 ( ) 0( 1,2) i f x i ，若两条曲线 ( )( 1,2) i y f x i 在点 0 0 ( , ) x y 处具有公切线 ( ) y g x ，且在该点处曲线 1 ( ) y f x 的曲率 大于曲率 2 ( ) y f x 的曲率，则在 0 x 的某个邻域内，有 ( ) 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ). A f x f x g x 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ). B f x f x g x 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ). C f x g x f x 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ). D f x g x f x （ 6）已知函数 ( , ) x e f x y x y ，则 ( ) ( ) 0. ( ) 0. ( ) . ( ) . x y x y x y x y A f f B f f C f f f D f f f （ 7）设 , A B是可逆矩阵，且 A与 B相似，则下列结论错误的是（ ） （ A） T A 与 T B 相似 . （ B） 1 A 与 1 B 相似 . （ C） T A A 与 T B B 相似 . （ D） 1 A A 与 1 B B 相似 . （ 8）设二次型 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 1 3 ( , , ) ( ) 2 2 2 f x x x a x x x x x x x x x 的正负惯性指数分别 为1,2，则 ( ) （ A） 1. a （ B） 2. a （ C） 2 1. a （ D） 1 a 或 2. a获 得 更 多 考 研 资 料 可 关 注 公 众 号 ： 掌 腾 考 研 高端定校考研精品学习平台 4 二、填空题： 9 1 4 小题，每小题 4 分，共 2 4 分，请将答案写在答题纸 指定位置上 . （ 9） 曲线 3 2 2 arctan 1 1 x y x x 的斜渐近线方程为 . （ 1 0）极限 2 1 1 2 lim sin 2sin sin n n n n n n n . （ 1 1）以 2 x y x e 和 2 y x 为特解的一阶非齐次线性微分方程为 . （ 1 2） 已知函数 f x 在 , 上连续， 且 2 0 1 2 x f x x f t d t ， 则当 2 n 时， 0 n f . （ 1 3）已知动点 P在曲线 3 x y 上运动，记坐标原点与点 P间的距离为 l .若点 P的横坐标 时间的变化率为常数 0 v ，则当点 P运动到点 1 , 1 时， l对时间的变化率是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ . （ 1 4）设矩阵 1 1 1 1 1 1 a a a 与 1 1 0 0 1 1 1 0 1 等价，则 a . 三、解答题： 1 5 2 3 小题，共 9 4 分 .请将解答写在答题纸 指定位置上 .解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 . （ 1 5） （本题满分 1 0 分）求 4 1 0 lim cos 2 2 sin x x x x x . （ 1 6） （本题满分 1 0 分）设函数 0 1 0 2 2 x d t x t x f ，求 x f 并求 x f 的最小值 . （ 1 7） （本题满分 1 0 分）已知函数 y x z z , 由方程 0 1 2 ln 2 2 y x z z y x 确 定，求 y x z z , 的极值 . （ 1 8） （本题满分 1 0 分）设 D是由直线 x y x y y , , 1 围成的有界区域，计算二重积分 2 2 2 2 . D x x y y d x d y x y （ 1 9 ）（ 本 题 满 分 1 0 分 ） 已 知 x x e x u x y e x y 2 1 , 是 二 阶 微 分 方 程 0 2 1 2 1 2 y y x y x 的解，若 1 0 , 1 u e u ，求 x u ，并写出该微分方程获 得 更 多 考 研 资 料 可 关 注 公 众 号 ： 掌 腾 考 研 高端定校考研精品学习平台 5 的通解 . （ 2 0） （本题满分 1 1 分）设 D是由曲线 1 0 1 2 x x y 与 2 0 sin cos 3 3 t t y t x 围 成的平面区域，求 D绕 x轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积 . （ 2 1） （本题满分 1 1 分）已知 x f 在 2 3 , 0 上连续，在 2 3 , 0 内是函数 3 2 cos x x 的一个 原函数 0 0 f （ 1）求 x f 在区间 2 3 , 0 上的平均值 ; （ 2）证明 x f 在区间 2 3 , 0 内存在唯一零点 . （ 2 2） （本题满分 1 1 分）设矩阵 1 1 1 0 1 0 , 1 1 1 1 2 2 a A a a a a ，且方程组 A x 无 解， （）求 a的值； （）求方程组 T T A A x A 的通解. （ 2 3） （本题满分 1 1 分） 已知矩阵 0 1 1 2 3 0 0 0 0 A . （）求 99 A ； （）设 3 阶矩阵 1 2 3 ( , , ) B ，满足 2 B B A ，记 100 1 2 3 ( , , ) B ，将 1 2 3 , , 分 别表示为 1 2 3 , , 的线性组合获 得 更 多 考 研 资 料 可 关 注 公 众 号 ： 掌 腾 考 研 高端定校考研精品学习平台 6 2 0 1 6 年全 国硕 士研 究生 入学 统一 考试 数学 二 真题 解析 一、选择题： 1 8 小题，每小题 4 分，共 3 2 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上 . （ 1）设 3 3 1 2 3 cos 1 , ln 1 , 1 1 a x x a x x a x .当 0 x 时，以上 3 个无 穷小量按照从低阶到高阶的排序是（ ） （A） 1 2 3 , , . a a a （B） 2 3 1 , , . a a a （C） 2 1 3 , , . a a a （D） 3 2 1 , , . a a a 【答案】 （B） 【解析】当 0 x 时 2 1 2 1 1 cos x x x a 6 5 3 2 1 ln x x x a x x a 3 1 1 1 3 1 3 故从低阶到高级顺序： 1 3 2 , , a a a ，选 B . （ 2）已知函数 2 1 , 1 ln , 1 x x f x x x ，则 f x 的一个原函数是（ ） 2 2 2 2 1 , 1 1 , 1 ln 1 , 1. ln 1 1, 1. 1 , 1 1 , 1 ln 1 1, 1. ln 1 1, 1. x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x 【答案】 （D） 【解析】由原函数必连续，故 A， C 排除 .又 1 x 时， x x x ln 1 1 ln ，故选 . （ 3）反常积分 1 0 2 1 , x e d x x 1 2 0 1 x e dx x 的敛散性为 ( ) （A）收敛收敛. （B）收敛发散. （C）收敛收敛. （D）发散发散. 【答案】 （B获 得 更 多 考 研 资 料 可 关 注 公 众 号 ： 掌 腾 考 研 高端定校考研精品学习平台 7 【解析】 1 1 0 | 1 0 1 1 0 2 x x e dx e x 收敛 , e e dx e x x x 1 | 1 0 1 1 0 2 发散 . （ 4）设函数 ( ) f x 在 , 内连续，其导函数的图形如图所示，则 ( ) （A）函数 ( ) f x 有 2 个极值点，曲线 ( ) y f x 有 2 个拐点 . （B）函数 ( ) f x 有 2 个极值点，曲线 ( ) y f x 有 3 个拐点 . （C）函数 ( ) f x 有 3 个极值点，曲线 ( ) y f x 有 1 个拐点 . （D）函数 ( ) f x 有 3 个极值点，曲线 ( ) y f x 有 2 个拐点 . 【答案】 （B） 【解析】由 x f 两个零点左右都反号，故极值点有两个， 又拐点是 x f 的极值点，故拐点有三个 ,选（B）. ( 5 )设函数 ( )( 1, 2) i f x i 具有二阶连续导数，且 0 ( ) 0( 1,2) i f x i ，若两条曲线 ( )( 1,2) i y f x i 在点 0 0 ( , ) x y 处具有公切线 ( ) y g x ，且在该点处曲线 1 ( ) y f x 的曲率 大于曲率 2 ( ) y f x 的曲率，则在 0 x 的某个邻域内，有 ( ) 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ). A f x f x g x 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ). B f x f x g x 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ). C f x g x f x 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ). D f x g x f x 【答案】 （A获 得 更 多 考 研 资 料 可 关 注 公 众 号 ： 掌 腾 考 研 高端定校考研精品学习平台 8 【解析】如图所示，答案为（A）. （ 6）已知函数 ( , ) x e f x y x y ，则 ( ) ( ) 0. ( ) 0. ( ) . ( ) . x y x y x y x y A f f B f f C f f f D f f f 【答案】 （ D） 【解析】 2 y x e y x e f x x x ， 2 y x e f x y 故 2 . x x x y e x y e f f f x y x y （ 7）设 , A B是可逆矩阵，且 A与 B相似，则下列结论错误的是（ ） （ A） T A 与 T B 相似 . （ B） 1 A 与 1 B 相似 . （ C） T A A 与 T B B 相似 . （ D） 1 A A 与 1 B B 相似 . 【答案】 （ C） 【解析】此题是找错误的选项 .由 A与 B相似可知，存在可逆矩阵 , P 使得 1 P A P B ，则 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1) ( ) ( ) , A (2) ( ) (3) ( ) , T T T T T T T T P A P B P A P B A B P A P B P A P B A B B P A A P P A P P A P B B A A B B D 故（ ）不选； ，故（ ）不选； 故（ ）不选； 此外，在（ C）中，对于 1 1 1 ( ) T T P A A P P A P P A P ，若 1 = P A P B ，则 1 ( ) T T T T P A P B ，而 1 T P A P 未必等于 T B ，故（ C）符合题意 .综上可知， （ C）为正确选 项 . （ 8）设二次型 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 1 3 ( , , ) ( ) 2 2 2 f x x x a x x x x x x x x x 的正负惯性指数分别获 得 更 多 考 研 资 料 可 关 注 公 众 号 ： 掌 腾 考 研 高端定校考研精品学习平台 9 为1,2，则 ( ) （ A） 1. a （ B） 2. a （ C） 2 1. a （ D） 1 a 或 2. a 【答案】 （ C） 【解析】考虑特殊值法，当 0 a 时， 1 2 3 1 2 2 3 1 3 ( , , ) 2 2 2 f x x x x x x x x x ， 其矩阵为 0 1 1 1 0 1 1 1 0 ，由此计算出特征值为 2, 1, 1 ，满足题目已知条件，故 0 a 成立， 因此（ C）为正确选项 . 二、填空题： 9 1 4 小题，每小题 4 分，共 2 4 分，请将答案写在答题纸 指定位置上 . （ 1 0） 曲线 3 2 2 arctan 1 1 x y x x 的斜渐近线方程为 . 【答案】 2 x y 【解析】 2 2 2 arctan 1 lim lim 1. 1 x x x y x k x x x 2 1 arctan 1 lim 1 arctan 1 lim lim 2 2 2 2 3 x x x x x x x x y b x x x 故渐近线为 . 2 y x （ 1 0）极限 2 1 1 2 lim sin 2sin sin n n n n n n n . 【答案】 sin1 cos1 【解析】由 1 0 1 2 1 sin 1 sin lim 1 sin lim x dx x n n i n i n n i i I n i n n i n 1 1 0 0 cos | cos sin1 cos1. x x x dx （ 1 1）以 2 x y x e 和 2 y x 为特解的一阶非齐次线性微分方程为获 得 更 多 考 研 资 料 可 关 注 公 众 号 ： 掌 腾 考 研 高端定校考研精品学习平台 1 0 【答案】 2 2 y y x x 【解析】令微分方程为 x q y x P y 则 x q e x x P e x x q x x P x x x 2 2 2 2 故 2 1, 2 . P x q x x x （ 1 2） 已知函数 f x 在 , 上连续， 且 2 0 1 2 x f x x f t d t ， 则当 2 n 时， 0 n f . 【答案】 2 2 5 【解析】由 2 2 2 1 2 x f x x f x x f 则 4 0 , 1 0 f f 则 x f x f 1 2 ，故 5 2 10 x f x f x f 2 ，故 5 2 0 2 2 f x f 以此类推，得 5 2 1 n n x f ，故 2 2 0 2 5. f x f （ 1 3）已知动点 P在曲线 3 x y 上运动，记坐标原点与点 P间的距离为 l .若点 P的横坐标 时间的变化率为常数 0 v ，则当点 P运动到点 1 , 1 时， l对时间的变化率是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 0 2 2 v 【解析】令 t y t x P , ，则 t x t y 3 又 t y t x l 2 2 则 t y t x t y t y t x t x dt dl 2 2 又 0 2 0 3 3 , v t x t x t y v t x获 得 更 多 考 研 资 料 可 关 注 公 众 号 ： 掌 腾 考 研 高端定校考研精品学习平台 1 1 则 0 0 0 3 2 2 . 2 v v dl v dt （ 1 4）设矩阵 1 1 1 1 1 1 a a a 与 1 1 0 0 1 1 1 0 1 等价，则 a . 【答案】 2 . 【解析】 1 1 1 1 0 1 1 , 0 1 1 1 1 1 0 1 a A a B a ，由 A与 B等价，可得 ( ) ( ) r A r B ，因为 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 ( ) 2 1 0 1 0 0 0 B r B 初等行变换 , 故 ( ) 2 0 2 r A A a 或-1,当 1 a 时，有 ( ) 1 r A ，这与 ( ) 2 r A 矛盾，故 2 a . 三、解答题： 1 5 2 3 小题，共 9 4 分 .请将解答写在答题纸 指定位置上 .解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 . （ 1 5） （本题满分 1 0 分）求 4 1 0 lim cos 2 2 sin x x x x x . 【解析】 4 1 0 sin 2 2 cos lim x x x x x 4 3 3 4 2 0 4 0 1 6 2 3 2 2 1 lim 1 - sin 2 2 cos lim x x o x x x x x x x x x x x 4 4 4 0 1 3 lim 1 . 3 x x o x x （ 1 6） （本题满分 1 0 分）设函数 0 1 0 2 2 x d t x t x f ，求 x f 并求 x f 的最小值 . 【解析】当 0 1 x 时， 1 2 2 2 2 3 2 0 4 1 3 3 x x f x x t dt t x dt x x获 得 更 多 考 研 资 料 可 关 注 公 众 号 ： 掌 腾 考 研 高端定校考研精品学习平台 1 2 当 1 x 时， 3 1 2 1 0 2 2 x dt t x x f 则 3 2 2 4 1 0 1 3 3 1 1 3 x x x f x x x 2 4 2 0 1 2 1 x x x f x x x 由导数的定义可知， 1 2 f 故 2 4 2 0 1 2 1 x x x f x x x 可知 x f 的最小值为 1 1 . 2 4 f （ 1 7） （本题满分 1 0 分）已知函数 y x z z , 由方程 0 1 2 ln 2 2 y x z z y x 确 定，求 y x z z , 的极值 . 【解析】方程 0 1 2 ln 2 2 y x z z y x 两边对 x求导 0 2 2 2 2 z x z x z y x x z （ 1） 令 0 x z ，则 0 1 x z 方程 0 1 2 ln 2 2 y x z z y x 两边对 y 求导 0 2 2 2 2 z y z y z y x y z （ 2） 令 0 y z ，则 0 1 y z 由 0 1 0 1 y z x z 得 x z y x 1获 得 更 多 考 研 资 料 可 关 注 公 众 号 ： 掌 腾 考 研 高端定校考研精品学习平台 1 3 代入原方程知 1 1 z y x ，令 1 , 1 0 P 求 0 0 0 2 2 2 2 2 , , P P P y z y x z x z 方程（ 1）两边再对 x求导： 0 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x z z x z z x z y x x z x x z x z 把 1 1 z y x 代入得 A x z 3 2 0 P 2 2 方程（ 1）两边再对 y 求导： 0 1 1 2 2 2 2 2 2 y x z z x z z y x z y x x z y y z x 把 1 1 z y x 代入得 B y x z 0 2 方程（ 2）两边再对 y 求导： 0 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 y z z y z z y z y x y z y y z y z 把 1 1 z y x 代入得 C y z 3 2 2 2 则 0 2 B A C 且 0 A ，故 0 P 是极大值点，且极大值为 0 1. z P （ 1 8） （本题满分 1 0 分）设 D是由直线 x y x y y , , 1 围成的有界区域，计算二重积分 2 2 2 2 . D x x y y d x d y x y 【解析】 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 I I dx dy y x x y dx dy y x y y x dx dy y x y x y x I D D D获 得 更 多 考 研 资 料 可 关 注 公 众 号 ： 掌 腾 考 研 高端定校考研精品学习平台 1 4 又区域 D 关于 y 轴对称，则 0 2 I 则 4 3 2 2 2 1 2 I I dx dy y x y dx dy I D D 其中 1 3 D dx dy I ， dx y x y dy dx dy y x y dx dy y x y I y D D 1 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 2 1 又 y y x y y x d y x y dx y x y y y y 4 arctan 1 1 0 0 2 0 2 2 2 故 2 1 0 4 y dy I 则 1 1 . 2 I （ 1 9 ）（ 本 题 满 分 1 0 分 ） 已 知 x x e x u x y e x y 2 1 , 是 二 阶 微 分 方 程 0 2 1 2 1 2 y y x y x 的解，若 1 0 , 1 u e u ，求 x u ，并写出该微分方程 的通解 . 【解析】 2 x y x u x e 是 2 1 2 1 2 0 x y x y y 的解，将 2 x y x u x e 代入 方程并整理得， 3 2 , 2 1 u x u x 两边积分得 1 ln ln 2 1 ln u x x C ，进一步解得 1 2 ( ) ( 2 ) x x u x C x e e C ，代入初值 1 , 0 1 u e u ，得 ( ) 2 x x u x x e e ， 从而原方程的通解为 1 2 1 2 ( 2 1) , , . x x y k e k x e k k 为任意常数 （ 2 0） （本题满分 1 1 分）设 D是由曲线 1 0 1 2 x x y 与 2 0 sin cos 3 3 t t y t x 围 成的平面区域，求 D绕 x轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积 . 【解析】 1）设 D 绕 x轴旋转一周的体积为 V ，则获 得 更 多 考 研 资 料 可 关 注 公 众 号 ： 掌 腾 考 研 高端定校考研精品学习平台 1 5 dt t dt t t dt t t t dx x V V V 2 0 9 2 0 2 7 0 2 2 6 1 0 2 sin 3 sin 1 sin 3 3 2 sin cos 3 sin 1 小 大 则 35 18 9 1 35 16 3 3 2 V 2 )设 D 绕 x轴旋转一周的表面积为 S，则 1 2 2 3 2 2 2 0 0 4 2 0 2 1 1 2 sin 16 2 6 sin sin . 5 S x y x dx t x x y x dt t d t （ 2 1） （本题满分 1 1 分）已知 x f 在 2 3 , 0 上连续，在 2 3 , 0 内是函数 3 2 cos x x 的一个 原函数 0 0 f （ 1）求 x f 在区间 2 3 , 0 上的平均值 ; （ 2）证明 x f 在区间 2 3 , 0 内存在唯一零点 . 【解析】 （ 1） 0 3 3 3 2 2 2 0 0 0 3 2 0 ( ) F(x) ( ) , 3 3 3 3 cos 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . 2 2 2 2 2 3 2 0 ( ) 3 1 ( ) . 3 2 3 2 x f x f t dt x f x dx f x d x x f x x dx x f x dx f x 设 的一个原函数为 = 所以 在0, 的平均值为 （ 2） 0 cos 3 ( ) , 0, 2 3 2 x t f x dt x t ，令 cos ( ) 0, 2 3 x f x x 得 0, 2 x x 当 0, 2 x 时， 0 f x ，故 ( ) f x 在 0, 2 上单调递减获 得 更 多 考 研 资 料 可 关 注 公 众 号 ： 掌 腾 考 研 高端定校考研精品学习平台 1 6 当 3 , 2 2 x 时， 0 f x ，故 ( ) f x 在 3 , 2 2 上单调递增 2 0 cos (0) 0, 0 2 2 3 x f f dx x ，由（ 1）知 3 2 0 1 3 3 ( ) ( ) , 0, 2 2 2 f x dx f 即 1 3 ( ) , 0, 3 2 f ，结合单调性质知 3 , 2 2 ，用零点定理和单调定理可知存 在唯一零点 . （ 2 2） （本题满分 1 1 分）设矩阵 1 1 1 0 1 0 , 1 1 1 1 2 2 a A a a a a ，且方程组 A x 无 解， （）求 a的值； （）求方程组 T T A A x A 的通解. 【解析】 （ ） 由 方 程 组 A x 无 解 ， 可 知 ( ) ( , ) r A r A ， 故 这 里 有 0 A ， 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 a A a a a a 或 2 a .由于当 0 a 时， ( ) ( , ) r A r A ，而当 2 a 时， ( ) ( , ) r A r A .综上，故 0 a 符合题目 . （）当 0 a 时， 3 2 2 1 2 2 2 , 2 2 2 2 2 T T A A A ，故 3 2 2 1 1 0 0 1 ( , ) 2 2 2 2 0 1 1 2 2 2 2 2 0 0 0 0 T T A A A ， 因此，方程组 T T A A x A 的通解为 0 1 1 2 1 0 x k ,其中 k 为任意实数. （ 2 3） （本题满分 1 1 分获 得 更 多 考 研 资 料 可 关 注 公 众 号 ： 掌 腾 考 研 高端定校考研精品学习平台 1 7 已知矩阵 0 1 1 2 3 0 0 0 0 A . （）求 99 A ； （）设 3 阶矩阵 1 2 3 ( , , ) B ，满足 2 B B A ，记 100 1 2 3 ( , , ) B ，将 1 2 3 , , 分 别表示为 1 2 3 , , 的线性组合. 【解析】 （）利用相似对角化. 由 0 E A ，可得 A的特征值为 1 2 3 0, 1, 2 ，故 0 1 2 A . 当 1 0 时，由 (0 ) 0 E A x ，解出此时 A的属于特征值 1 0 的特征向量为 1 3 2 2 ; 当 2 1 时，由 ( ) 0 E A x ，解出此时 A 的属于特征值 2 1 的特征向量为 2 1 1 0 ; 当 3 2 时，由 ( 2 ) 0 E A x ，解出此时 A 的属于特征值 3 2 的特征向量为 3 1 2 0 . 设 1 2 3 3 1 1 ( , , ) 2 1 2 2 0 0 P ， 由 1 0 1 2 P A P 可 得 1 A P P ， 99 99 1 A P P获 得 更 多 考 研 资 料 可 关 注 公 众 号 ： 掌 腾 考 研 高端定校考研精品学习平台 1 8 对于 3 1 1 2 1 2 2 0 0 P ，利用初等变换，可求出 1 1 0 0 2 2 1 2 1 1 1 2 P ，故 99 99 98 99 99 1 100 100 99 99 1 0 0 3 1 1 0 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 0 0 2 1 0 0 0 1 1 2 A P P （ ） 2 3 2 2 100 99 B B A B B B A B A B A A B A B B A ， 由 于 1 2 3 ( , , ) B ， 100 1 2 3 ( , , ) B ， 故 99 99 98 99 100 100 99 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 2 1 2 2 2 ( , , ) ( , , ) ( , , ) 2 2 1 2 2 2 0 0 0 A ，因此， 99 100 99 100 98 99 1 1 2 2 1 2 3 1 2 ( 2 2 ) ( 2 2 ) , (1 2 ) (1 2 ) , (2 2 ) (2 2 ) .获 得 更 多 考 研 资 料 可 关 注 公 众 号 ： 掌 腾 考 研 高端定校考研精品学习平台 1 9 2 0 1 7 年全 国硕 士研 究生 入学 统一 考试 数学 二 真题 一、选择题： 1 8 小题，每小题 4 分，共 3 2 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上 . （ 1） ）若函数 1 cos , 0 ( ) , 0 x x f x a x b x 在 0 x 处连续，则（ ） ( A ) 1 2 ab ( B ) 1 2 ab ( C ) 0 ab ( D ) 2 a b （ 2）设二阶可导函数 ( ) f x 满足 (1) ( 1) 1, (0) 1 f f f 且 ( ) 0 f x ，则（ ） ( A ) 1 1 ( ) 0 f x dx （ B ） 1 1 ( ) 0 f x dx （ C ） 0 1 1 0 ( ) ( ) f x dx f x dx （ D ） 0 1 1 0 ( ) ( ) f x dx f x dx （ 3）设数列 n x 收敛，则（ ） （ A）当 lim sin 0 n n x 时， lim 0 n n x （ B）当 lim( ) 0 n n n x x 时， lim 0 n n x （ C）当 2 lim( ) 0 n n n x x 时， lim 0 n n x （ D）当 lim( sin ) 0 n n n x x 时， lim 0 n n x （ 4）微分方程 2 4 8 (1 cos 2 ) x y y y e x 的特解可设为 * y （ ） （ A） 2 2 ( cos 2 sin 2 ) x x A e e B x C x （ B） 2 2 ( cos 2 sin 2 ) x x A x e e B x C x （ C） 2 2 ( cos 2 sin 2 ) x x A e x e B x C x （ D） 2 2 ( cos 2 sin 2 ) x x A x e e B x C x （ 5）设 ( , ) f x y 具有一阶偏导数，且对任意的 ( , ) x y ，都有 ( , ) ( , ) 0, 0 f x y f x y x y ，则 （ A） (0,0) (1,1) f f （ B） (0,0) (1,1) f f （ C） (0,1) (1,0) f f （ D） (0,1) (1,0) f f （ 6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 1 0（单位： m）处，图中实线表示甲的速度 曲线 1 ( ) v v t （单位： / m s） ，虚线表示乙的速度曲线 2 ( ) v v t ，三块阴影部分面积的数值 依次为 1 0 , 2 0 , 3，计时开始后乙追上甲的时刻记为 0 t （单位： s） ，则（获 得 更 多 考 研 资 料 可 关 注 公 众 号 ： 掌 腾 考 研 高端定校考研精品学习平台 2 0 （ A） 0 10 t （ B） 0 15 20 t （ C） 0 25 t （ D） 0 25 t （ 7）设 A 为三阶矩阵， 1 2 3 ( , , ) P 为可逆矩阵，使得 1 0 1 2 P A P ，则 1 2 3 ( ) A （ ） （ A） 1 2 （ B） 2 3 2 （ C） 2 3 （ D） 1 2 2 （ 8）设矩阵 2 0 0 2 1 0 1 0 0 0 2 1 , 0 2 0 , 0 2 0 0 0 1 0 0 1 0 0 2 A B C ,则（ ） （ A） , A C B C 与 相似 与 相似 （ B） , A C B C 与 相似 与 不相似 （ C） , A C B C 与 不相似 与 相似 （ D） , A C B C 与 不相似 与 不相似 二、填空题： 9 1 4 小题，每小题 4 分，共 2 4 分，请将答案写在答题纸 指定位置上 . ( 9 ) 曲线 2 1 arcsin y x x 的斜渐近线方程为 _ _ _ _ _ _ _ ( 1 0 ) 设函数 ( ) y y x 由参数方程 sin t x t e y t 确定，则 2 2 0 t d y d x _ _ _ _ _ _ ( 1 1 ) 2 0 ln(1 ) (1 ) x dx x _ _ _ _ _ _ _获 得 更 多 考 研 资 料 可 关 注 公 众 号 ： 掌 腾 考 研 高端定校考研精品学习平台 2 1 ( 1 2 ) 设 函 数 ( , ) f x y 具 有 一 阶 连 续 偏 导 数 ， 且 ( , ) (1 ) y y d f x y y e d x x y e d y ， (0,0) 0 f ，则 ( , ) _ f x y （ 1 3） 1 1 0 tan _ y x d y d x x （ 1 4）设矩阵 4 1 2 1 2 3 1 1 A a 的一个特征向量为 1 1 2 ，则 _ a 三、解答题： 1 5 2 3 小题，共 9 4 分 .请将解答写在答题纸 指定位置上 .解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 . （ 1 5） （本题满分 1 0 分）求极限 0 3 0 lim x t x x t e d t x （ 1 6） （本题满分 1 0 分）设函数 ( , ) f u v 具有 2 阶连续偏导数， ( ,cos ) x y f e x ，求 0 x d y d x ， 2 2 0 x d y dx （ 1 7） （本题满分 1 0 分）求 2 1