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上海 大学 2018 年攻硕学位研究生 生考 码:992 名 :数值数 考生须 : 1. 本 卷分为150分,全考 总 180分 。 2. 所有答案须 在答 上, 在 上或草稿上一 效。 1. (共 30分, 小 10分) 考虑 下阵 A = 2 4 4 2 2 2 5 1 2 1 5 3 5; B = A 2 4 2 0 0 0 2 0 0 0 2 3 5: (a) 求阵B 行列式. (b) 求阵A 特 值. (c) 求阵A 1范数, 2范数. 2. (共 30分, 小 10分) 考虑 下阵 A = 2 4 4 2 2 2 5 1 2 1 5 3 5: (a) 三 分: 求单位下三 阵L, 上三 阵U,使 A = LU. (b) 求程Ax = b, 其中列向b = 62; 63; 51 : (c) LDLT 分: 求单位下三 阵K 阵D,使 A = KDKT. 3. (共 30分, 小 10分) 下阵 向 M = 2 4 2 1 1 0 2 0 0 0 2 3 5; z = 2 4 2 1 1 3 5: 选 初列向x0 = 4; 2; 2 , 考虑 下优化 min x2R3 kMx zk22: 第 1 页 共 2 页 码:992 名 :数值数 (a) 程Ax = b, 求 阵A 向b 具体数值. (b) 用最速下降 求 程, 求第一步 优化向p0, 向 优化步 长 0, 后 x1 = x0 + 0p0. (c) 用共轭fl 求 程, 第一步与上 最速下降 同. 第 步是 x1, 在p0 r1 = b Ax1 张成 空 求最优向p1. r1, p1. ( 求调整p1 第一个分为1.) 4. (共 20分, 小 10分) I4 为4 阶单位阵. 列向x = 3; 1; 1; 5 . (a) 列向y = 6; 0; 0; 0 , 求一个单位向w2R4,使 (I4 2wwT)x = y: (b) 列向y = 2; 1; 0; 2 , 求一个单位向w2R4 正数 ,使 (I4 2wwT)x = y: 5. (共 30分, 小 10分) 考虑性程Ax = b, 阵与向 下 A = 2 4 2 1 1 1 2 0 1 0 2 3 5; b = 2 4 4 2 2 3 5: D;L;U2R3 3 分别为A 、严格下三 、严格上三 分 成 阵. (a) Jacobi 一步求 Dxk+1 + (L + U)xk = b, xk+1 = Mxk +g 阵M,判是否收敛并 理由. (b) Gauss-Seidel 一步求(D+L)xk+1+Uxk = b, xk+1 = Nxk +g 阵N,判是否收敛并 理由. (c) 假 用幂 求阵M 模最大特 值其 特 向, 先分 阵特 值 特, 调整M 一个适合幂 阵. 6. (共 10 分, 小 10 分) 阵 M 2Rn n 与向 g;x0 2Rn, 假 存在正 阵P 2Rn n 使 P 4MTPM 正 , 明 下 收敛 xk+1 = 2Mxk +g; k = 0;1;: 第 2 页 共 2 页