2020年中国科学院大学高等数学(乙)考研真题.docx
中国科学院大学 2020 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称:高等数学(乙) 考生须知: 1. 本试卷满分为 150 分,全部考试时间总计 180 分钟。 2. 所有答案必须写在答题纸上,写在试题纸上或草稿纸上一律无效。 一、 选择题 (本题满分 50 分,每小题 5 分。请从题目所列的选项中选择一个正确项填充空格。每题的四个备选项中只有一个是正确的,不选、错选或多选均不得分。请将你的选择标清题号写在考场发的答题纸上,直接填写在试题上无效。)ex sin 2x, x 0 科目名称:高等数学(乙) 第 1 页 共 4 页 (1)设 f (x) = ax + b, x > 0处处连续,处处可导。则a, b 取值为()。(A) a = 2,b = 0(B) a =1,b = 0(C) a = 2,b =1(D) a = 0,b = 0(2) 下列一元函数积分公式中,错误的是()。pp(A) 2 f (sin x)dx =2 f (cos x)dx00pp(B) 2 f (sin x, cos x)dx = 2 f (cos x,sin x)dx00p(C) pf (sin x)dx = 2 2 f (sin x)dx00pp(D) f (cos x)dx = 2 2 f (cos x)dx001- x2(3) 1 xdx= ()。0 (2 - x2 )(A) p(B) p(C) p(D) p234n + 2n +1(4) 下列级数不收敛的是()。 5n-1 + 4n+1 (A) n=132n2n(B) (- 2n=1n+ n )n=1(C) 3n +1(D) qn=1cos nx(| q |< 1)(5) 下列说法完全正确的是( )。 1(A)令 f (x) = (1+ x) x ,1,x 0 ,则0 为 f (x) 的第二类间断点。 x = 0(B)令 f (x) = limn+x + x2enx1+ enx, x R ,则 f (x) 为连续函数。 (C)令 D(x) = 1,x为有理数 ,则 D(x) 为偶函数,但不是周期函数。 0, x为无理数(D)设 f (x) 为0,1上单调非减函数且 f (0) = 0, f (1) =1,则f (x) 可以取到0,1上的任何一个值。(6) 下列极限正确的是( )。((A) lim sin pn+n2 +1) = 0 , n N 。(B) limx0tan x -sin xsin3 x= 1。(C) lim 1+1+1 = 1 , n N 。n+ 1 2 32 3 4n (n +1) (n + 2) 31(D) lim x(p - arctan x) =。x+222(7) 考虑半径为 a(0 < a <1) 的圆 x2 + y2 = a2 ,过点 P = (0,1) 做该圆的两条不同切线, 切点分别为 A 和 B ,若DPAB 为等边三角形,则该圆的半径为( )。 3(A)3(B)2(C) 1 2(D) 1 311- x2(8) 0 dx 0ex2 + y2 dy = ( )。p(A)(e -1) 4p(B)(e -1) 2(C) e -1 (D) p(9) Lx2 + y2 dx + y ln (x +x2 + y2 )+ xy dy =( ),其中 L 表示矩形区域 ABCD边界沿逆时针方向,A(3,2),B(6,2),C(6,4),D(3,4)。 (A)50 (B)52 (C)28 (D)56 科目名称:高等数学(乙)第 2 页 共 4 页 (10)设函数 y1 (x), y2 (x) 为二阶常系数线性齐次微分方程 y (x) + py (x) + qy(x) = 0 的两个特解,则 y1 (x), y2 (x) 的线性组合能构成该方程通解的充分条件是()。(A) y1 (x) y1 (x) - y2 (x) y2 (x) = 0 。 (B) y1 (x) y1 (x) - y2 (x) y2 (x) 0 。 (C) y1 (x) y2(x) - y2 (x) y1(x) 0 。 (D) y1 (x) y2(x) - y2 (x) y1(x) = 0 。二、(本题满分 10 分) 求过点 P : (0,1, -1) ,与平面p : x -3y + z -5 = 0 平行且与直线l : 3x - 2 y + 2z + 3 = 0 科目名称:高等数学(乙) 第 4 页 共 4 页 共面的直线方程。 2x + y + z +1 = 0三、(本题满分 10 分) 设方程 yx - xy = 0 ,求导函数 y (x)。四、(本题满分 10 分) 求如下心形曲线 x = 2sin t -sin 2t, y = 2cost -cos 2t(0 t 2p )的长度。 五、(本题满分 10 分) 令曲线C 为圆柱面 x2 + z2 -1 = 0 与平面 x + y + z -1 = 0 的交线, 求C 到原点的最大和最小距离。 111六、(本题满分 10 分) (1)证明: arctan2n2= arctan- arctan。2n -12n +112n(2)求级数arctan2 的和。n=1七、(本题满分 10 分) 求下列常微分方程初值问题的解: y (x) =y +xx2 y, x > 0 ;y(1)= 2 。八、(本题满分 10 分) 计算第二型曲面积分(x2 + 2y2 + 2z2 )dydz ,其中 S 为半球面y2 + z2S1- y2 - z2x =被锥面 x =截下部分的内侧。九、(本题满分 10 分) (1)求幂级数nxn 的收敛域与和函数;n=1(2)求级数n=12n +1 3n之和。1十、(本题满分 10 分) (1)证明:n +1< ln(1+ 1) < 1 , n N 。 nn(2)令a = 1+ 1 + 1 - ln n ,证明: a 收敛。n2nn十一、(本题满分 10 分) 设三阶连续可微函数 f (x) 0,其中 x (0,1) 。并且 f (x) = 0 在区间(0,1) 内存在两个相异实根。 证明:存在x (0,1) ,使得 f (x ) = 0 。