暨南大学2021年845抽象代数考研真题.pdf
2021年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题*招生专业与代码:网络空间安全(0839)考试科目名称及代码:抽象代数845(A卷)考生注意:所有答案必须写在答题纸(卷)上,写在本试题上一律不给分。一、填空题(共5小题,每小题4分,共20分)。1.设,A B是两个有限集合,则A到B的映射有_个。2.在5次对称群5S中,(134)(135)=。3. 8阶循环群的生成元有个。 4.设G g 是35阶循环群,写出G的非平凡子群_。5.在多项式环2 Z x中,2( 1)( 1)x x x _。二、判断题(在题后的括号内正确的画“”,错误的画“”,填错或未填者,该小题无分。共5小题,每小题4分,共20分)。1.非交换群的阶至少为6。( )2.每个群必存在非平凡的子群。( )3.整数环的自同构只有恒等自同构。( )4.域的有限可分扩张必为单扩张。( ) 5.对于任何正整数n,含有n个元素的有限域都存在。( )三、问答题(共2小题,每小题15分,共30分)。1(15分)分别写出群、环和域的定义,并各举一个例子。2(15分)构造一个4元域,并指出它的加法和乘法运算规则。四、证明题(共2小题,每小题15分,共30分)。1.(15分)设n是正整数,证明:满足方程1nx 的复数的集合G在通常乘法下是一个n阶循环群。2.(15分)决定环Z -1的单位群,并证明此环为整环但不是域。 五、计算题(共3小题,第1、2小题15分,第3小题20分,共50分)。1(15分)设286, 187a b ,运用广义欧几里德除法求整数,s t使得( , )s a t b a b 。2. (15分)设u是有理数域Q上多项式3 2( ) 6 9 3f x x x x 的一个实根。(1)证明 21, ,u u是( )Q u在Q上的一组基;(10分)(2)将1(1 )u 表示成21, ,u u的Q-线性组合。(5分)3(20分,每小题10分)(1)解如下含参数1 2 3 4, , ,b b b b的同余方程组:1 234(m od7)(m od9)(m od10)(m od11)x bx bx bx b (2)当1 2 3 41, 2, 3, 4b b b b 时,求出上述同余方程组的最小正整数解。 考试科目:抽象代数共2页,第2页