2019年天津科技大学601自命题数学硕士研究生入学考试大纲.docx
2019 年天津科技大学 601 自命题数学硕士研究生入学考试大纲高等数学教学课程大纲一、函数与极限 本章节主要教学要求: 1.理解函数概念。 2.了解函数的几种特性:有界性、单调性、奇偶性和周期性。 3.理解复合函数概念,了解反函数的概念。 4.会建立简单实际问题中的函数关系式。 5.理解极限的概念,理解左右极限的定义。会利用定义证明一些简单的极限,了解极限的性质。 6.理解无穷小和无穷大的概念,掌握无穷小的运算性质,会用等价无穷小求极限。 7.掌握极限的运算法则及变量代换法则。 8.理解极限存在的夹逼准则,了解单调有界收敛准则,会用两个重要极限求极限。 9.理解函数在一点连续和在一个区间上连续的概念。 10.了解函数间断点的概念,会判别函数间断点类型。 11.了解初等函数的连续性。了解闭区间上连续函数的性质,并能作一般性的应用。二、 导数与微分本章节主要教学要求:1. 理解导数的概念,了解左右导数的概念。2. 理解导数的几何意义,会求平面曲线的切线方程和法线方程。3. 理解函数的可导性与连续性之间的关系。4. 熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则,了解反函数的求导法则。5. 掌握基本初等函数的求导公式。6. 了 解 高 阶 导 数 的 概 念 , 掌 握 初 等 函 数 二 阶 导 数 的 求 法 , 会 求 简 单 函 数 的 n 阶导数, 会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数。7. 理解微分的概念,掌握函数可导与可微的关系,了解微分的几何意义,了解微分的 运算法则和一阶微分形式不变性,掌握微分的简单应用。三、 微分中值定理与导数应用本章节主要教学要求:1. 理解费马引理、罗尔定理和拉格朗日定理,了解柯西定理。2. 掌握用洛必达法则求各类未定式极限的方法。3.了 解 泰 勒 定 理 , 知 道 e x、 sin x、 cos x、 ln(1 x) 与 (1 x) 等函数的麦克劳林公式。4. 掌握函数单调性的判断,会利用函数单调性证明某些不等式和方程根的唯一性。5. 会判断曲线的凸凹性,会求曲线的拐点。6. 理解函数极值的概念,掌握求极值的方法;掌握函数最大值和最小值的求法,会求 解较简单的最大值和最小值的应用问题。7. 会求曲线的水平与铅直渐近线,会利用导数描绘函数的图形。8.了解弧微分、曲率和曲率半径的概念,会求弧微分,会计算曲率和曲率半径。 四、 不定积分本章节主要教学要求:1. 理解原函数和不定积分的概念,掌握不定积分的性质。2. 熟练掌握不定积分的基本公式。3. 掌握不定积分的两类换元法和分部积分法。4. 会求简单有理函数、简单三角函数有理式和简单无理函数的不定积分。 五、 定积分及其应用本章节主要教学要求:1. 理解定积分的概念,掌握定积分的性质,了解函数可积的充分条件。2. 熟悉积分上限函数及其求导方法。3. 熟练掌握牛顿-莱布尼兹公式。4. 掌握定积分的换元法和分部积分法。5. 理解两类反常积分的概念,会计算一些简单的反常积分。6. 掌握定积分的元素法。7. 掌握平面图形面积、立体体积、平面曲线弧长等几何量的计算。8. 会求变力做功、液体的侧压力和引力等简单的物理量。 六、 微分方程本章节主要教学要求:1.了解微分方程、微分方程的阶、微分方程的解、通解、初始条件、特解等概念。2.掌 握 可 分 离 变 量 方 程 和 一 阶 线 性 方 程 的 解 法 , 会 解 齐 次 方 程 , 了 解 伯 努 利 方 程 的 解 法 , 了 解 会用 变 量 代 换 求 解 方 程 的 方 法 。3.会 用 降 阶 法 求 解 形 如 y (n) f (x), y f ( x, y) 和 y f ( y, y) 的微分方程。4.掌握二阶线性微分方程解的结构。5.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法,了解高阶常系数齐次线性微分方程的解法。6.会 求f (x) Pm (x) ex的 二 阶 常 系 数 非 齐 次 线 性 微 分 方 程 , 了 解f (x) ex P (x) cosx P (x) sinxl n 的二阶常系数非齐次线性微分方程的解法。7.会用微分方程解一些简单的几何和物理问题。 七、多元函数微分法及其应用本章节主要教学要求:1.理 解 多 元 函 数 的 概 念 , 了 解 点 函 数 的 概 念 , 会 求 多 元 函 数 的 函 数 值 , 会 求 二 元 函 数 的 定 义 域 ,了 解 二 元 函 数 的 几 何 图 形 。2.了解二元函数的极限与连续的概念,了解有界闭区域上连续函数的性质。3.理 解 多 元 函 数 偏 导 数 的 概 念 , 掌 握 偏 导 数 和 二 阶 偏 导 数 的 求 法 , 了 解 二 阶 以 上 偏 导 数 的 求法 , 知 道 偏 导 数 存 在 与 函 数 连 续 的 关 系 , 了 解 偏 导 数 的 几 何 意 义 。4.理解全微分的概念,知道可微的必要与充分条件,会求多元函数的全微分。5.掌握多元复合函数一阶偏导数的求法,了解多元复合函数二阶偏导数的求法。6.了 解 隐 函 数 存 在 定 理 , 掌 握 由 一 个 方 程 所 确 定 的 隐 函 数 的 一 阶 导 数 或 偏 导 数 求 法 , 了 解 其 二阶 导 数 或 偏 导 数 求 法 , 了 解 由 两 个 方 程 所 确 定 的 隐 函 数 的 一 阶 导 数 或 偏 导 数 求 法 。7.了解曲线的切线与法平面方程的求法,了解曲面的切平面与法线方程的求法。8.理解方向导数和梯度的概念,会求方向导数和梯度,知道方向导数与梯度的关系。9.理 解 多 元 函 数 极 值 和 条 件 极 值 的 概 念 , 掌 握 多 元 函 数 极 值 的 必 要 条 件 和 二 元 函 数 极 值 的 充 分条 件 , 会 求 二 元 函 数 的 极 值 , 会 用 拉 格 朗 日 乘 数 法 求 条 件 极 值 , 会 求 一 些 较 简 单 的 最 大 值 和 最 小值 的 应 用 问 题 。八、 重积分1. 本章节主要教学要求:2. 理解二重积分的概念,了解二重积分的性质。3. 掌握利用直角坐标、极坐标计算二重积分的方法,会在直角坐标系下交换二次积分 次序,会将直角坐标、极坐标下的二次积分互化。4. 会用重积分表示一些简单的几何量(如平面面积、立体体积、曲面面积等)和简单的物理量(如质量、质心、转动惯量、引力等) 。 九、无穷级数本章节主要教学要求:1. 理解无穷级数收敛、发散以及和的概念,知道无穷级数的基本性质,掌握无穷级数 收敛的必要条件。2. 掌 握 几 何 级 数 和 p -级数的收敛性。3. 掌握正项级数的比较审敛法、比较审敛法的极限形式、比值审敛法,了解正项级数 的根值审敛法,知道正项级数收敛的充分必要条件。4. 掌握交错级数的莱布尼兹审敛法,会估计交错级数的截断误差。5. 知道无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念,了解绝对收敛级数的性质。6. 了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。7. 掌握阿贝尔定理,掌握幂级数的收敛半径和收敛区间的求法,了解收敛域的求法。8. 了解幂级数在其收敛域内的基本性质,会求简单幂级数的和函数。9. 了 解 函 数 展 开 为 泰 勒 级 数 的 充 分 必 要 条 件 , 了 解 将 函 数 展 开 为 幂 级 数 的 直 接 展 开 法 ,会 利 用 函 数 e x、 sin x、 cos x、 ln(1 x) 与 (1 x) 的麦克劳林展开式将一些简单的函数间接展开成幂级数。 线性代数教学大纲第一章 行列式本章主要教学要求:掌握行列式的六个主要性质,会运用这些性质进行行列式的简化。 理 解 代 数 余 子 式 的 概 念 , 掌 握 行 列 式 按 行 (列 )展 开 从 而 降 阶 的 方 法 。 对 于 确 定 阶 数 ( 4 阶 ) 的行 列 式 , 会 通 过 化 简 为 三 角 形 行 列 式 求 值 , 或 化 简 后 展 开 、 降 阶 计 算 ; 对 于 简 单 的 不 定 阶 数 的 行 列 式(n 阶 ), 会 根 据 其 特 点 计 算 其 值 。 了 解 拉 普 拉 斯 定 理 , 理 解 克 拉 默 法 则 , 掌 握 其 关 于 齐 次 方 程 组 的推 论 。第二章 矩阵本 章 主 要 教 学 要 求 : 理 解 矩 阵 的 概 念 (包 括 矩 阵 的 元 素 、 阶 数 ), 掌 握 矩 阵 的 表 示 法 。 了 解 一些 常 用 的 特 殊 矩 阵 , 如 行 (列 )矩 阵 、 零 矩 阵 、 方 阵 、 上 (下 )三 角 阵 、 单 位 阵 等 。 掌 握 矩 阵 的 加 法 、 数 乘 、乘 法 、 转 置 运 算 及 其 运 算 律 , 理 解 矩 阵 一 般 不 可 交 换 和 不 可 消 去 的 原 理 。 理 解 线 性 变 换 和 线 性 方 程 组 的 矩阵 形 式 , 掌 握 方 阵 的 幂 运 算 , 理 解 对 称 阵 的 定 义 及 其 性 质 。 掌 握 方 阵 可 逆 的 定 义 及 其 充 要 条 件 , 掌 握 用伴 随 阵 求 逆 矩 阵 的 方 法 , 掌 握 用 逆 矩 阵 解 线 性 方 程 组 和 简 单 矩 阵 方 程 的 方 法 。 理 解 矩 阵 的 行(列 )初 等 变 换 及矩 阵 的 等 价 性 概 念 , 掌 握 矩 阵 的行 初 等 变 换 。 理 解 矩 阵 秩 的 定 义 , 掌 握 用 初 等 变 换 求 矩 阵 秩 的 方 法 。理 解 初 等 矩 阵 的 定 义 及 其 性 质 , 掌 握 用 初 等 变 换 求 逆 矩 阵 的 方 法 , 了 解 分 块 矩 阵 的 概 念 。第三章 向量与线性方程组本 章 主 要 教 学 要 求 : 掌 握 用 方 程 组 的 增 广 矩 阵(或 系 数 矩 阵 , 对 于 齐 次 方 程 组 )作 行 初 等 变 换 解方 程 组 的 一 般 方 法 。 理 解 n 维 向 量 的 概 念 , 掌 握 向 量 的 线 性 运 算 。 理 解 线 性 组 合 、 线性 表 示 等 概 念 , 理 解 向 量 组 线 性 相 关 、 线 性 无 关 的 定 义 和 充 要 条 件 , 掌 握 判 别 向 量 组 线 性 相 关性 的 基 本 方 法 , 会 用 定 义 和 充 要 条 件 进 行 简 单 的 论 证 。 理 解 向 量 组 最 大 无 关 组 的 定 义 和 性 质 , 理 解向 量 组 秩 的 定 义 , 会 求 向 量 组 的 最 大 无 关 组 。 了 解 齐 次 方 程 组 解 空 间 的 概 念 , 掌 握 基 础 解 系 和 通解 的 求 法 ; 会 求 非 齐 次 方 程 组 的 通 解 。 理 解 向 量 的 内 积 、 夹 角 等 概 念 , 理 解 向 量 正 交 的 概 念 , 掌 握向 量 组 的 正 交 化 方 法 , 了 解 正 交 阵 的 定 义 及 其 性 质 。第四章 矩阵的特征值与特征向量本 章 主 要 教 学 要 求 : 理 解 方 阵 特 征 值 和 特 征 向 量 的 定 义 及 其 主 要 性 质 , 掌 握 特 征 值 和 特 征向 量 的 求 法 。 理 解 方 阵 相 似 变 换 的 定 义 , 理 解 方 阵 对 角 化 的 定 义 和 方 阵 可 对 角 化 的 充 要 条 件 , 掌 握用 正 交 变 换 将 实 对 称 矩 阵 对 角 化 的 方 法 。参考书目:高等数学(上、下) 同济第六版 高教出版社线性代数 吴天毅 王玉杰 邱玉文编 高等教育出版社 2011.1