石河子大学理学院硕士研究生入学考试数学综合考试大纲 数学综合包括数学分析和高等代数两门课程，本考试大纲适用于石河子大学学科教学（数学）专业硕士研究生入学考试。数学分析是一门具有公共性质的重要的数学基础课程，由分析基础、一元微分学、积分学、级数、多元微分学和积分学等部分组成。要求考生能准确理解基本概念，熟练掌握各种运算和基本的计算、论证技巧，具有综合运用所学知识分析和解决问题的能力。高等代数是大学数学系本科学生的最基本课程之一，主要内容包括多项式、行列式和线性方程组、矩阵及其标准形、特征值和特征向量、线性变换和矩阵范数。要求考生熟悉基本概念、掌握基本定理、有较强的运算能力和综合分析解决问题能力。一、考试基本要求要求考生比较系统地理解数学分析和高等代数中的基本概念和基本理论，掌握基本思想和方法。要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。二、考试方法和考试时间数学综合考试采用闭卷笔试形式，试卷满分为 100 分，考试时间为 180 分钟。三、考试内容和考试要求 数学分析部分：考试内容一、分析基础1 实数概念、确界2 函数概念3 数列极限与函数极限4 无穷大与无穷小5 实数的完备性、上极限与下极限6 连续概念及基本性质，一致连续性7 收敛原理二、 一元微分学1 导数概念及几何意义2 求导公式求导法则3 高阶导数4 微分5 微分中值定理及其应用6 LHospital 法则7 Taylor 公式8 用导数研究函数三、 一元积分学1 不定积分法与可积函数类2 定积分的概念、性质与计算3 定积分的应用4 广义积分四、级数1 数项级数的敛散性判别与性质2 函数列和函数项级数与一致收敛性3 幂级数五、多元微分学1 欧氏空间2 多元函数的极限3 多元连续函数4 偏导数与微分5 隐函数定理6 多元微分学的几何应用7 多元函数的极值六、多元积分学1 重积分的概念与性质2 重积分的计算3 二重、三重积分4 含参变量的正常积分5 曲线积分与 Green 公式6 曲面积分7 Gauss 公式和 Stokes 公式考试要求一、分析基础1 了解实数公理，理解上确界和下确界的意义。掌握绝对值不等式及平均值不等式。2 熟练掌握函数概念（如定义域、值域、反函数等） 。3 掌握序列极限的意义、性质（特别，单调序列的极限存在性定理）和运算法则，熟练掌握求序列极限的 方法。N4 掌握函数极限的意义、性质和运算法则，熟练掌握求函数极限的 方法，了解广义极限和单侧极限的意义。5 熟练掌握求序列极限和函数极限的常用方法（如初等变形、变量代换、两边夹法则等） ，掌握由递推公式给出的序列求极限的基本技巧。6 理解无穷大量和无穷小量的意义，了解同阶和高（低）阶无穷大（小）量的意义。7 掌握实数集完备性的基本定理，了解上极限和下极限的意义和性质。8 熟练掌握函数在一点及在一个区间上连续的概念，理解函数两类间断点的意义，掌握初等函数的连续性，理解区间套定理和介值定理。理解一致连续和不一致连续的概念。9 掌握序列收敛的充分必要条件及函数极限存在的充分必要条件。二、一元微分学1 掌握导数的概念和几何意义，会用定义求函数在给定点的导数。2 会用求导公式和法则熟练计算函数导数以及函数的高阶导数。3 理解函数微分的概念和函数可微的充分必要条件，了解一阶微分的不变性，能利用微分作近似计算。4 理解并掌握微分中值定理（Rolle 定理，Lagrange 定理和 Cauchy 中值定理） ，并能应用它们解决函数零点存在性及不等式证明等问题。5 熟练掌握应用 LHospital 法则求函数极限的方法。6 熟练掌握应用导数判断函数升降、凹凸性以及画出函数图像的方法，以及求一元函数极值和最值的方法。三、一元积分学1 理解不定积分概念和基本性质，熟记基本积分表，理解并掌握换元法和分部积分法的意义和方法，解应用他们熟练计算不复杂的不定积分。2 了解可积分函数类的意义及其积分法，熟练掌握有理函数、三角函数有理式及简单的根式的有理式的积分方法。3 理解定积分的概念，掌握定积分的基本性质及函数在有限区间上可积的充分必要条件，熟练掌握定积分的计算方法。了解变限定积分的性质，掌握积分中值定理。4 熟练应用定积分计算平面曲线弧长、平面图形面积、立体体积、旋转曲面表面积。5 理解广义积分及其收敛、绝对收敛和发散的意义，掌握广义积分收敛的判定法则。四、级数1 掌握数项级数收敛、发散和绝对收敛的概念、级数收敛的充分必要条件（Cauchy 准则） ，收敛和绝对收敛级数的性质以及级数加法和乘法的运算法则。2 熟练掌握正项级数敛散判别法（比较判别法、DAlembert 判别法、Cauchy 根式判别法以及 Cauchy 积分判别法） ，掌握一般项级数敛散判别方法。能计算一些特殊数项级数的和。3 理解函数项级数收敛的意义并能确定其收敛域。理解函数序列一致收敛以及函数项级数一致收敛的意义，掌握函数项级数一致收敛的判别法则（Cauchy 一致收敛准则，Weierstrass 判别法，Abel 判别法，Dirichlet 判别法）及一致收敛级数的性质。4 理解幂级数的概念并能确定其收敛半径。掌握幂级数的基本性质和运算法则，熟记五个基本幂级数展开式（ ） 。能求出给定函数在指定点的幂级)1ln(,)(,cosinxxex ，数展开式。五、多元微分学1 理解欧氏空间的概念及欧氏空间中向量的内积与模、开集与闭集、开区域与闭区域的意义，熟悉完备性定理及紧性定理。2 理解多元函数的概念。掌握多元函数的全面极限、累次极限和特殊路径极限的意义，并能根据定义计算多元函数极限，或证明二元极限不存在，能计算多元函数的全面极限和累次极限。3 理解多元连续函数的概念，掌握其性质，并能判断多元函数的连续性。了解多元函数的一致连续性。4 理解偏导数的概念，掌握其计算法则，能熟练计算函数的偏导数和复合函数的导函数。5 理解多元函数的微分的概念，并能判断函数的可微性。6 理解隐函数存在定理和反函数存在定理，熟练掌握隐函数的微分法。7 能应用偏导数求空间曲线的切线、法平面及空间曲面的法线和切平面的方程。8 理解多元函数的极限和最值的意义、极值的必要条件和充分条件，掌握求多元函数极值、条件极值及在闭区域上的最值的方法，并用于解决实际问题。六、多元积分学1 理解重积分的概念、可积的充分必要条件及重积分的性质。2 掌握二重积分和三重积分化累次积分的方法以及二重、三重积分的变量代换方法（特别，平面极坐标变换，空间柱坐标和球坐标变换） ，能熟练计算二重和三重积分，并用于计算平面图形面积、柱体体积、曲面面积及曲面所围的立体体积。3 了解二重、三重广义积分的意义（无界域情形和不连续函数情形） ，掌握它们的基本判敛法和基本计算方法。4 了解含参变量的正常积分的基本性质（连续性，积分号下取极限、求导和求积分） 。5 理解第一型和第二型曲线积分的意义、性质、实际背景及二者的联系，能熟练计算曲线积分。6 理解并掌握 Green 公式的意义，并能应用它计算曲线积分。7 理解第一型和第二型曲面积分的意义、性质、实际背景及二者的联系，能熟练计算曲面积分。8 理解并掌握 Gauss 公式和 Stokes 公式的意义，并能用于曲面积分或曲线积分的计算。了解空间曲线积分与路径无关的充分必要条件及其对曲线积分计算的应用。主要参考书目数学分析（上下册） （第四版）华东师范大学数学系编 高等教育出版社高等代数部分考试内容与要求一、基本概念1 掌握集合概念、运算及证明集合相等的一般方法。2 理解并掌握映射、映射的合成、满射、单射和可逆映射的概念与判断。3 理解和掌握整数的整除概念及其基本性质；了解最大公因数性质、求法；理解互素、素数的简单性质。4 理解数环、数域概念；了解、熟悉常用的数环、数域。二、一元多项式理论1 掌握一元多项式的概念、运算和基本运算性质。2 理解并掌握一元多项式整除的概念及其基本性质；理解并熟练运用带余式除法。3 掌握最大公因式、互素概念；熟练掌握辗转相除法；会应用互素的性质证明整除问题。4 理解并掌握不可约多项式的概念及性质；理解唯一因式分解定理。5 理解并掌握重因式概念；掌握判断一元多项式有、无重因式的充要条件。6 掌握多项式函数、多项式的根的概念；熟练运用余式定理和综合除法解决相关问题。7 理解代数基本定理；熟悉实系数多项式的特点、性质；掌握求整系数多项式的有理根的方法。三、行列式1 理解 n 阶行列式概念；熟练掌握行列式的基本运算性质。2 通过了解余子式及代数余子式的概念和重要性质，理解并熟练掌握行列式的依行依列展开规则。3 掌握并能熟练应用克拉默法则。四、线性方程组1 理解一般线性方程组的求解方法-消元法，并且熟练掌握消元法的具体实施过程。2 熟练掌握计算矩阵秩的初等变换法和线性方程组可解的判别法。3 掌握齐次线性方程组有非零解的充要条件。五、矩阵1 熟练掌握矩阵的加法、乘法以及数与矩阵的乘法运算法则及其基本性质。2 熟识初等矩阵与初等变换的关系；掌握可逆矩阵的概念与矩阵可逆的判别，熟练掌握求逆矩阵的行初等变换方法和公式法。3 掌握分块矩阵的概念及分块矩阵的运算。六、向量空间1 理解向量空间概念，熟悉线性代数中若干常用的几个向量空间。2 理解并掌握子空间的概念和判别方法，熟悉子空间的“交”与“和”运算及产生新子空间的途径。3 理解和掌握线性组合、线性相（无）关、向量组的等价以及极大无关组等概念；能够熟练地判别或证明给定向量组是否线性相关；理解替换定理内容及证明过程。4 掌握向量空间基与维数的概念及其求法，充分理解基在向量空间理论中所起到的重要作用；进一步理解和掌握子空间的交与和的概念及维数公式；理解和掌握子空间的直和的概念及判别方法。5 理解向量空间中坐标的概念及其意义，掌握坐标变换公式，过渡矩阵的概念及性质。6 理解向量空间同构的概念、性质及重要意义。7 掌握矩阵的秩和它的行空间、列空间维数之间的关系；熟练地求出齐次线性方程组基础解系及非齐次线性方程式组的任意解。七、线性变换1 理解掌握线性变换的定义，判断给定的法则是否是一个线性变换；正确理解线性变换的像与核的概念及相互间的联系，并能具体求出给定线性变换的像与核。2 理解和掌握线性变换的加法、数乘及乘法运算规则；了解向量空间 L(V)。3 理解 L(V)与 元素间存在的同构映射；了解线性变换问题与矩阵问题相互转化的)(FMn思想和方法。4 掌握不变子空间的定义及验证一个子空间是否某线性变换的不变子空间方法。5 理解有限维向量空间上线性变换的本征值、本征向量的求解思路并熟练掌握其求解过程。6 理解掌握线性变换和矩阵可对角化的判断与计算。八、欧氏空间1 理解并掌握内积、欧氏空间和相关度量概念。2 理解并掌握规范正交基概念和施密特正交化方法。3 理解并掌握正交变换与正交矩阵的概念、性质及其关系。4 理解并掌握对称变换的概念及其与实对称矩阵的关系；掌握对称变换和实对称矩阵的对角化方法。九、二次型1 掌握二次型及其矩阵表示，理解二次型秩、标准形的概念，会用非奇异线性变换把实二次型化为标准形。2 理解并掌握实二次型的惯性定律及复、实二次型的合同分类。3 理解并掌握正定二次型概念，掌握判定实二次型为正定二次型的条件和方法。4 掌握将实二次型通过变量的正交变换化为标准形方法。主要参考书目1 张禾瑞，郝鈵新， 高等代数 ，高等教育出版社， 1997.2 北京大学编高等代数 ，高等教育出版社，1978 年 3 月第 1 版 ，2003 年 7 月第 3版 ，2003 年 9 月第 2 次印刷.