1数学学院研究生考试大纲 2820高等代数考试大纲注意：本大纲为参考性考试大纲，是考生需要掌握的基本内容。第一部分 一元多项式理论一、考核知识点1、一元多项式2、整除性与最大公因式3、因式分解4、复系数，实系数，有理系数多项式二、考核要求（一）一元多项式1、熟练掌握：一元多项式及相关概念。2、深刻理解：多项式的运算及与次数的关系。3、简单应用：多项式的运算。（二）整除性与最大公因式1、熟练掌握：（1）多项式和整除及相关概念。 （2）最大公因式及相关概念。2、深刻理解：（1）整除的性质。 （2）带余除法。 （3）辗 转除法。 （4）最大公因式的性质。 （5）互素的性质。3、简单应用：（1）掌握带余除法。 （2）计算最大公因式。 （3）使用整除性质，最大公因式的性质，互素的性质处理多项式问题。（三）因式分解1、熟练掌握：（1）不可约多项式概念。 （2）最小公倍式概念。 （3）重因式，根，重根等概念。2、深刻理解：（1）唯一分解定理。 （2）不可约多项式的性质。 （3）导数与重因式的关系。 （4）次数与根的个数的关系。3、简单应用：利用因式分解理论处理多项式的相关问题。（四）复系数，实系数，有理系数多项式1、熟练掌握：（1）复系数，实系数不可约多项式及因式分解定理。 （2）本原多项式。32、深刻理解：（1）实系数多项式虚根特征。 （2）本原多项式性质。 （3）有理系数多项与整系数多项式在可约性上的关系。 （4）艾森斯坦因判别法。（5）综合除法。 （6）有理系数多项式的有理根的判定。3、简单应用：应用复系数，实系数，有理系数多项式理论处理相关问题。第二部分 行列式一、考核知识点1、映射与变换2、置换的奇偶性3、行列式4、克拉默法则二、考核要求（一）映射与变换1、熟练掌握：映射，变换及相关概念。2、深刻理解：映射的合成及运算律。3、简单应用：判断具体映射的可逆性。（二）置换的奇偶性1、熟练掌握：置换奇偶性概念。2、深刻理解：置换的表示方法。3、简单应用：置换的运算，分解。（三）行列式1、熟练掌握：行列式的定义及相关概念。2、深刻理解：行列式的性质。3、简单应用：行列式的计算。4、理 解：行列式的几何意义。（四）克拉默法则1、熟练掌握：克拉默法则内容。2、深刻理解：克拉默法则的思想与证明。3、简单应用：利用克拉默法则解线性方程组。4第三部分 线性方程组与线性子空间一、考核知识点1、消元法2、向量组的线性相关性3、线性子空间二、考核要求（一）消元法1、熟练掌握：（1）矩阵。 （2）初等变换。 （3）线性方程组的有关概念。2、深刻理解：消元法的全过程。3、简单应用：解线性方程组。（二）向量组的线性相关性1、熟练掌握：线性表示，线性相关，线性无关等基本概念。2、深刻理解：线性相关性的相应结论。3、简单应用：判定向量组的线性相关性。（三）线性子空间1、熟练掌握：（1）线性子空间。 （2）基与维数。2、深刻理解：基对子空间的意义。3、简单应用：（1）判定是否子空间。 （2）确定基和维数。第四部分 矩阵一、考核知识点1、向量组与矩阵的秩2、线性映射及矩阵3、矩阵乘积的行列式与矩阵的逆4、矩阵分块5、初等矩阵二、考核要求（一）向量组与矩阵的秩1、熟练掌握：（1）向量组的线性表示，等价，极大无关组，秩等概念。（2）矩阵的行秩，列秩，子式，秩等概念。52、深刻理解：（1）与向量组的秩相关的一些结论。 （2）与矩阵的秩相关的一些结论。3、简单应用：（1）求向量组的极大无关组。 （2）求向量组和矩阵的秩。（3）利用矩阵的秩判断线性方程组解的状况。（二）矩阵乘积的行列式与矩阵的逆1、熟练掌握：（1）退化，非退化，可逆，非可逆，伴随等关于矩阵的概念。 （2）可逆矩阵的求逆公式。 （3）关系式：|AB|=|A|B|。2、深刻理解：矩阵可逆与线性变换可逆性的关系。3、简单应用：计算可逆矩阵的逆矩阵。（三）矩阵的分块1、熟练掌握：（1）矩阵分块的概念。 （2）分块对角矩阵的概念。2、深刻理解：矩阵运算对分块的要求。3、简单应用：（1）对矩阵进行分块运算。 （2）分块矩阵的运算。（四）初等矩阵1、熟练掌握：初等方阵的定义。2、深刻理解：初等矩阵与初等变换的关系。3、简单应用：（1）化矩阵为正规形。 （2）用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵。第五部分 线性空间与欧几里得空间一、考核知识点1、线性空间2、欧几里得空间二、考核要求（一）线性空间1、熟练掌握：（1）线性空间定义及性质。 （2）子空间的和与直和的定义。（3）维数定理。 （4）同构。2、深刻理解：（1）线性空间定义中的八条公理。 （2）直和的判定条件。（3）简单应用：判断子空间的和是直和。6（二）欧几里得空间1、熟练掌握：（1）欧几里得空间及其相关概念。 （2）正交变换及正交矩阵的概念。2、深刻理解：（1）施密特正交化方法。 （2）正交变换的判定条件和性质。（3）正交矩阵的判定条件和性质。3、简单应用：（1）把线性无关向量变为标准正交向量组。 （2）判断线性变换的正交性。 （3）判断矩阵的正交性。 （4）掌握欧氏空间中向量的度量性质。第六部分 线性变换一、考核知识点1、线性空间的基变换2、线性变换的矩阵的化简二、考核要求（一）线性空间的基变换1、熟练掌握：过渡矩阵，相似矩阵的概念。2、深刻理解：基变换对坐标的影响和对线性变换矩阵的影响。3、简单应用：（1）正确使用坐标变换公式。 （2）掌握线性变换的矩阵受基变换的影响。（二）线性映射及矩阵1、熟练掌握：（1）线性映射。 （2）线性映射的运算。 （3）矩阵的运算。2、深刻理解：（1）线性映射及矩阵的运算规律。 （2）线性映射与矩阵的对应关系。3、简单应用：（1）线性映射的运算和矩阵的运算。 （2）处理相关矩阵的某些问题。（三）线性变换矩阵的化简1、熟练掌握：特征值，特征向量，特征多项式，不变子空间，特征子空间等概念。2、深刻理解：线性变换的矩阵的化简思想与方法。3、简单应用：（1）判断具体线性变换是否可以对角化。 （2）处理有关特7征值，特征向量，不变子空间的一些问题。第七部分 二次型一、考核知识点1、二次型基本性质2、二次型的标准形3、正定二次型二、考核要求1、熟练掌握：二次型及相关概念。2、深刻理解：二次型的化简。3、简单应用：（1）化二次型为标准形。 （2）判断具体实二次型的正定性。第八部分 多项式矩阵一、考核知识点1、多项式矩阵2、若尔当典范形理论二、考核要求（一）多项式矩阵1、熟练掌握：（1）多项式矩阵。 （2）初等变换与初等多项式矩阵。 （3）多项式矩阵的正规形。2、深刻理解：初等多项式矩阵的意义。3、简单应用：化多项式矩阵为正规形。（二）若尔当典范形理论1、熟练掌握：（1）行列式因子。 （2）不变因子。 （3）初等因子。2、深刻理解：（1）行列式因子，不变因子，初等因子之间的关系。 （2）矩阵相似的判定条件。3、简单应用：化矩阵为若尔当典范形。8602数学分析考试大纲（学术型）注意：本大纲为参考性考试大纲，是考生需要掌握的基本内容。第一章 实数集与函数一考核知识点1.实数集的性质2确界定义和确界原理3函数的概念及表示法，基本初等函数的性质及其图形，初等函数二考核要求(一) 实数集的性质1熟练掌握：（1）实数及其性质；（2）绝对值与不等式。2深刻理解：（1）实数有序性，大小关系的传递性，稠密性，阿基米德性，实数集对四则运算的封闭性以及实数集与数轴上的点的一一对应关系；（2）绝对值的定义及性质。3简单应用：（1）会比较实数的大小，能在数轴上表示不等式的解；（2）会利用绝对值的性质证明简单的不等式。4综合应用：会利用实数的性质和绝对值的性质证明有关的不等式，会解简单的不等式。（二）确界定义和确界原理1熟练掌握：（1）区间与邻域；（2）有界集、无界集与确界原理。2深刻理解：（1）区间与邻域的定义及表示法；（2）确界的定义及确界原理。3简单应用：会用区间表示不等式的解，会证明数集的的有界性，会求数集的上、下确界。94综合应用：会用确界的定义证明某个实数是某数集的上确界（或下确界），证明某数集无界。（三）函数的概念1熟练掌握：（1）函数的定义；（2）函数的表示法；（3）函数的四则运算；（4）复合函数；（5）反函数；（6）初等函数。2深刻理解：（1）函数概念的两大要素；（2）掌握整数部分函数，小数部分函数，符号函数，狄利克雷和黎曼函数；（3）函数能够进行四则运算的条件；（4）复合函数中内函数的值域与外函数的定义域的关系；（5）反函数存在的条件。3简单应用：会求函数的定义域、值域，比较几个函数的大小，会求分段函数和复合函数的表达式，能熟练地描绘六类基本初等函数的图象。4综合应用：能作简单的复合函数的图象，会求函数的反函数，证明有关的不等式，会建立简单应用问题的函数关系。（四）具有某些特性的函数1熟练掌握：（1）有界函数；（2）单调函数；（3）奇函数和偶函数；（4）周期函数。2深刻理解：（1）有界函数和无界函数的定义；（2）单调函数的定义及其图象的性质；（3）奇函数和偶函数的定义及其图象的性质；（4）周期函数的定义及其图象的性质。3简单应用：（1）会求函数的上下界，会判断函数无界；（2）会判断函数的单调性；（3）会判断周期函数及求周期；（4）会判断函数的奇偶性。4综合应用：能利用函数的各种特性解决简单的应用问题。第二章 数列极限一考核知识点1数列极限的定义2收敛数列的性质3数列极限存在的条件二考核要求10(一) 数列极限的定义1熟练掌握：数列的敛散性概念，数列极限的 定义，数列极限的几N何意义。2深刻理解：数列极限的“ 定义”的逻辑结构，深刻理解 的任意N 性， 的相应性；用“ 定义”证明数列的极限的表述方法； “ 定N N义”的否定说法。3简单应用：能够通过观察法初步判断数列的敛散性。4综合应用：会用“ 语言”证明数列的极限存在。N(二) 收敛数列的性质1熟练掌握：收敛数列极限的唯一性，有界性，保号性，保不等式性，迫敛性，数列极限的四则运算法则，数列子列的概念。2深刻理解：收敛数列诸性质的证明。3简单应用：运用收敛数列的四则运算法则计算数列的极限。4综合应用：运用收敛数列诸性质证明和判断各种数列问题。(三) 数列极限存在的条件1熟练掌握：（1）单调有界原理；（2）柯西收敛准则。2深刻理解：单调有界原理和柯西收敛准则的实质及其否定命题。3简单应用：会用单调有界原理证明某些极限的存在性。4综合应用：会用单调有界原理和柯西收敛准则证明某些极限问题，会用柯西收敛准则的否定命题证明数列发散。第三章 函数极限一考核知识点1函数极限的定义2函数极限的性质3函数极限存在的条件4两个重要的极限5无穷大量与无穷小量二考核要求(一) 函数极限的定义