1目录I 考查目标 .2II 考试形式和试卷结构 .2III 考查内容 .2IV. 题型示例及参考答案 .32全国硕士研究生入学统一考试线性代数考试大纲I 考查目标线性代数考试是为我校招收相关专业硕士生而设置的具有选拔性质的考试科目。其目的是科学、公平、有效地测试考生是否具备必须的基本素质、一般能力和培养潜能，以利用选拔具有发展潜力的优秀人才入学，为国家的经济建设培养具有良好职业道德、法制观念和国际视野、具有较强分析与解决实际问题能力的高层次、应用型、复合型的专业人才。考试要求是测试考生是否掌握线性代数最核心的基本理论和基本方法。具体来说。要求考生：1 掌握行列式、矩阵的概念及其运算的基本分方法。2 掌握线性方程组的求解方法。3 掌握向量的概念、向量组的线性相关性、秩的性质及其运算。4 掌握二次型的概念及其标准形。5 掌握向量空间中基变换、坐标变换的基本理论与方法。II 考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间试卷满分为 150 分，考试时间 180 分钟。二、答题方式答题方式为闭卷、笔试。三、试卷内容与题型结构单项选择题 5 题，每小题 3 分，共 15 分填空题 5 题，每小题 3 分，共 15 分计算与证明题 9 题，共 120 分III 考查内容1 行列式的概念及其计算。2 矩阵的概念、矩阵的运算、矩阵的秩及其计算。3 向量的概念、向量组的线性相关性、向量组的秩。4 线性方程组的求解。5 二次型及其标准形的的概念及其性质。6 向量空间的概念，向量空间中基变换、坐标变换的概念及其性质。IV. 题型示例及参考答案3一 填空与选择题（3*10=30 分）1.设 为 阶方阵， ，若 为实数，则有( )An1A. B.| |AC. D.|n |2. 与 是同阶方阵，当下列条件( )满足时，对任意正整数 成立AB nnnBA)(A. 与 都可逆 B. 与 都对称ABC. D.|3设 为三阶矩阵， ，则其伴随矩阵 的行列式 ( )Aa| *|*A. B.a2aC. D.3 44若向量组 线性无关，向量组 线性相关，则（ ）,A. 必可由 线性表示 B. 必不可由 线性表示 ,C. 必可由 线性表示 D. 必不可由 线性表示, 5 如果向量组 线性无关，那么( )cba321,01,A. B. abc 0C. D. 06已知 4 阶矩阵 的 4 个特征值为 1， ，3，4，则 _A2|A7已知向量 (1, 2, 3)， (3, 2, 1)，则 12218设 ，则 的伴随矩阵 等于 032*9线性方程组 的基础解系含有_个解向量04321xx10设 ，且 ，则该向量空间是_12(,)|VX123,xR维向量空间二（15 分）计算题41.(7 分) 31D2. (8 分) ，其中对角线上元素都是 ，未写出的元素都是 。1a a0三 (10 分)设 是一组 维向量，已知 维单位坐标向量组 可被它n,21 nn,21线性表出，证明 线性无关。n,21四 (15 分)求向量组的秩及一0,1(),10,(),1,(),( 4321 个最大无关组，并把其余向量用此最大无关组线性表示。五 (15分)已知 是 的一个特征向量，试确定参数 。T)1,(25Aab ,ab六（10分） 取何值时，二次型 是正定的。t 323122321 4xxtx七 (15 分)求正交变换 化二次型XPY为标准形。3231212321321 844),(xf 八（10 分）在 中，求向量 在基4),(下的坐标。)1,(),(,),( 4321 九 (15 分)设齐次线性方程组 有非零解，求 的值，并求通解。0321x十(15 分)在 中，求由基 到基 的过渡矩阵， 4P34,421,)1,(),()(),1(21 ,0,1043参考答案一 选择与填空题（3 分*10=30 分）51. A 2. C 3B 4C 5D 6 7 8 9. 3 10. 224,2026二、计算题(15 分)1. =4831D2. 21naa三、(10 分) 设 是一组 维向量，已知单位向量 可被它线性表出，n,21 n,21证明 线性无关。n,21证明：略四、(15 分) 求向量组的秩及一个最大)0,1(),10,(),1,(),( 4321 无关组，并把其余向量用此最大无关组线性表示。解：设矩阵 ，并对 施以初等行变换),(4321TT，AA， 0101210 21由行最简形矩阵可知，向量组的一个极大无关组为 ， 12,3124五、(15分) 已知 是 的一个特征向量，试确定参数T)1,(2153Aab。,ab6解：设 对应的特征值为 ，则有 ，即0)(AE解得 。.021,35ba 1,3ba六、 （10 分） 取何值时，二次型 是正定的。t 323122321 45xxtx解：二次型系数矩阵为 ，二次型正定，即 的各阶顺序主子式为正。2tAA， ， ，从而可得01D012tt 04523tD54-t七、(15 分) 求正交变换化二次型为标准形。3231212321321 844,( xxxxf 解 f 的矩阵 。42A 0)9(422| EA得特征值为 对于 。9,0321。得对应的特征向量为0420EA， ，正交化为 ，01p2 54210512,1bp单位化为 。534532,0512ee7对于 ，得对应的特征值为 ，单位化为 。93213p3231e所以，二次型在正交变换之下，标准形为 。3213215043yx 239yf八、（10 分）在 中，求向量 在基4P)1,(下的坐标。)1,(),1,(),1( 4321 解：设 基 下的坐标为 ，则有43 ,(321x，从而21xx，坐标为 4145011 15九、(15 分) 设齐次线性方程组 有非零解，求 ，并求通解。0321x解： ，令 ，则 。22 )(1A |A1，所以通解为01231cx十、(15 分) 在 中，求由基 到基 的过渡矩阵， 4P1234,41,;)(),(),(,(21 ,0,)0438解：(1)令 ，11210,3AB,114则从 到 的过渡矩阵4321,4321,1372104PAB