1目录I 考查目标 .2II 考试形式和试卷结构 .2III 考查内容 .2IV. 题型示例及参考答案 .42全国硕士研究生入学统一考试概率论与数理统计考试大纲I 考查目标概率论与数理统计是为我校招收系统工程硕士生而设置的具有选拔性质的考试科目。其目的是科学、公平、有效地测试考生是否具备攻读系统工程专业硕士所必须的基本素质、一般能力和培养潜能，以利用选拔具有发展潜力的优秀人才入学，为国家的经济建设培养具有良好职业道德、法制观念和国际视野、具有较强分析与解决实际问题能力的高层次、应用型、复合型的系统工程专业人才。考试要求是测试考生掌握理解概率论与数理统计的基本概念和基本理论，掌握概率论与数理统计的基本思想和方法，具有较强的逻辑推理能力和灵活的思维能力，具有较强的计算能力和综合运用所学知识分析并解决实际问题的能力。II 考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间试卷满分为 150 分，考试时间 180 分钟。二、答题方式答题方式为闭卷、笔试。允许使用计算器（仅仅具备四则运算和开方运算功能的计算器） ，但不得使用带有公式和文本存储功能的计算器。三、试卷内容与题型结构概率论与数理统计，满分 150 分，有以下两种题型：填空或选择题（40 分） 、综合题（110 分）III 考查内容1概率论的基本概念（1）熟练掌握随机试验、样本空间、随机事件的概念；（2）熟练掌握频率与概率、古典概型的概念；（3）熟练掌握条件概率与独立性的概念及应用。2随机变量及其分布（1）理解随机变量的概念；（2）深刻理解并掌握概率分布、分布函数及概率密度的定义及应用；（3）理解随机变量的函数的分布的定义及其性质。3多维随机变量及其分布（1）理解并掌握二维随机变量的定义；3（2）理解边缘分布、条件分布的定义及其性质；（3）会求两个随机变量的函数的分布函数。4数字特征（1）理解并会求随机变量的期望及方差；（2）理解协方差及相关系数的定义及其性质；（3）会求矩、协方差矩阵。5大数定律及中心极限定理掌握大数定律及中心极限定理的具体条件及结论，并可以应用中心极限定理解决实际问题。6样本及抽样分布掌握随机样本的定义，掌握 分布、 分布、及 分布的定义及性质。2TF7参数估计（1）理解点估计的定义，掌握矩估计法及极大似然估计法；（2）理解估计量的评选标准的定义及其实质；（3）理解区间估计的定义,并会求正态总体均值及方差的区间估计。8假设检验（1）深刻理解假设检验的概念；（2）掌握正态总体均值及方差的假设检验；（3）掌握关于总体分布的假设检验方法 检验法。29方差分析及回归分析掌握一元方差分析和一元回归分析的定义及方法。4IV. 题型示例及参考答案一、填空题（每空5分，共计40分）1. 设事件 A，B 的概率分别为 13与 2，若 A 与 B 互斥，则 ()PA=_；若 AB，则 ()P=_.2. 某人忘记了电话号码，因而他随意地拨号，则他拨号不超过三次而接通所需要的电话的概率为_.3. 设 服从正态分布 ， 服从参数为 3 的泊松分布， 服从2，8上的均匀分X2(1,)NYZ布。令 ，则期望 _，方差43VZ()EV_.(5)D4. 设灯泡的寿命 （以小时计）的概率密度为 ，一个教室X210,0()xfx中装有3个这样的灯泡，则最初1500小时内没有一个损坏的概率为_，最初1500小时内只有一个损坏的概率为_.5. 设总体 服从正态分布 ，而 是来自总体 X 的简单随机样本，X2(0,)N1215,X则随机变量 服从_.2115(Y 二、 （12 分）设 为取自正态总体 的样本，记15, 2(0,)Z= 2221345()aXbXcX试确定 使得 Z 服从 分布.,abc2三、（12 分）设总体 ， 为来自总体 的一个样本，样本均值为2(40,5)N1,n， X（1）抽取容量为 36 的样本，求 ；384PX5（2）问：抽取样本容 n 为多大时，才能使 .40195PX（已知 ）(2.4)0918,(3.6)98,(.6).7四、 （16 分）设二维随机变量 (,)XY的联合概率密度函数为 01,(,)xyxyf其 它 。求：（1）边缘概率密度函数 (),XYff，并验证 X，Y 是否独立；（2）期望和方差 (),)ED；（3）协方差 cov(,)XY和相关系数 XY五、 （15 分）一民航机场的送客车载有 20 位旅客机场开出，沿途旅客有 10 个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车。假设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车相互独立。以 X 表示停车的次数，求 ()EX六、 （16 分）已知射击命中点的坐标( ， Y)是服从二维正态分布的随机变量，它的 概率密度为 21(,),xyfxyexy求命中点与靶心的距离 2ZXY的概率密度七（15分）设随机变量X服从（ 0-1）分布，即 是总体的一个样12(,),nBpX本，求参数 p 的极大似然估计量八、 （12 分）设 是一组样本观测值，在平面上所处的位置近似12(,),()nxyxy形成一条直线，现选择函数 使得 达ab2211()()nni iii iyyabx到最小，求 ,ab九、 （12 分）现有甲、乙两台车床生产同一型号的滚珠，根据经验两台车床生产的滚珠直径都服从正态分布，现从这两台车床生产的产品中分别抽出 8 个和 9 个，测得滚珠直径（单位 mm）分别为6甲 15.0 14.5 15.2 15.5 14.8 15.1 15.2 14.8乙 15.2 15.0 14.8 15.2 15.0 15.0 14.8 15.1 14.8在显著性水平 下，问乙车床生产的滚珠直径的方差是否比甲车床生产的小？（0.5）0.5(7,8)3.F参考答案一、1. 1/2, 1/6； 2. 0.3； 3. 16 ，1509 ；4.8/27 , 4/9 ; 5. F(10,5)二 、解：由于 N(0，20)， N(0 ，100)， N(0，4) 且相互独立，12X34X5X因此性质 6.1 派生的结论(3)，有Z= ，223451()()0102(3)所以 a= ,b= ,c= 。1/20/4三、解：（1） ， ，25(,)36XN(,)/XN=384P.410980.96（2） ， ， .12().5nX().75n96n四 、解：（1） ()(,)dXfxfy1,01,2x其 它 ；()(,)d101,2,Yfyfy其 它 。由于 (,)()XYfxyfyA，故 X，Y 不相互独立。（2） dExf107(),21225()()d,1XExf25()(4DXEX。7同理得 2751(),(),()14EYDY。（3）由 (,dXxyfy10()3得 cov(,)()()XYEXYA21734cov(,)14XYD五、解：引入随机变量 iX10i i第 个 车 站 有 人 下 车第 个 车 站 无 人 下 车， 1,2,0i易见 1210XX 。依题意，任一旅客在第 i个车站下车的概率为 9，因此 20 位旅客都不在第 i站下车的概率为2091，按照逆事件概率公式，则在第 i 个车站有人下车的概率为2091。由此得 iX的概率分布如下表所示 iX0 1p220因此，209()1,1,0iEXi再由数学期望的性质 3 推广得 12101210()()()908.7EXEXEX （ 次 ）8这表明班车平均停车约 9 次。六、解 设 Z的分布函数为 ()ZFzPz当 z<0 时， 2()0zXY当 z³0 时，22 1(,)ddxyZ DDzfxye其中 D 为 xoy 平面内由不等式 2xy所定的区域，利用极坐标，得 22220 011()dd1zr rzzZFzeee即 2,0()1zZze从而 2XY的分布密度为： 20,()0zZfze七、解：X 的分布律为，1(,)(),xxPxpXPp故似然函数为 1111()()()nniiixxnxxiiLp取对数，得 11()()()innixLpxLp令 1() 0ni idLpxp解之得 P 的极大似然估计量为 1niPxX八、解： 残差平方和 22211(,)()()nniiiiiiQabeyyabx根据微分学中求极值的方法，要求的 a, b 应是下列方程组的解：912()0,.niiiiiiQyabxab 整理上式为 211nniiaxybx其中 11nni ixy当 i不全相等时， 221niixnx21()0nii，上面方程组有唯一解，解之得 xyxyLab其中 2211()nnxi iiLxxyiiiiyxyn2211()nnyi iiL九、解 设 分别表示甲、乙两台车床生产的滚珠直径，即 ，,XY 21(,)XN， 均未知，根据题意需检验假设2(,)YN21,， 201:H21:H这是一个单侧检验问题，由于 未知，用 F 检验法，显著性水平为 的拒绝域为2,1122(,)SFn由所给样本计算得样本方差 ， ，于是得10.6720.1810210.6783.5SF再由显著性水平 ， ， ，查 F 分布表，得临界值0.518n290.5(,)(78)3.0F由于 ，故拒绝假设 （即接受 ） ，即认为乙车床生123.65.0,FnH1产的滚珠直径的方差比甲车床生产的小。