第 1 页，共 5 页河南科技大学硕士研究生入学考试初试科目考 试 大 纲科目代码、名称: 636 数学分析一、考查目标（复习要求）要求考生掌握数学分析课程的基本概念、基本定理和基本方法，能够运用数学分析的理论分析、解决相关问题。二、考查范围或考试内容概要本课程考核内容包括实数理论和连续函数、一元微积分学、级数、多元微积分学等等。第一章 实数集与函数1了解邻域，上确界、下确界的概念和确界原理。2掌握函数复合、基本初等函数、初等函数及常用特性。 （单调性、周期性、奇偶性、有界性等）3掌握基本初等不等式及应用。第二章 数列极限1熟练掌握数列极限的 -N 定义。2掌握收敛数列的常用性质。3熟练掌握数列收敛的判别条件（单调有界原理、迫敛性定理、Cauchy 准则、压缩映射原理等） 。4能够熟练求解各类数列的极限。第三章 函数极限1深刻领会函数极限的“-”定义及其它变式。2熟练掌握函数极限存在的条件及判别。 （归结原则，柯西准则，左、右极限、单调有界等）3熟练应用两个重要极限求解较复杂的函数极限。4理解无穷小量、无穷大量的概念；会应用等价无穷小求极限；熟悉等价无穷小、同阶无穷小、高阶无穷小及其性质。第四章 函数连续性1掌握函数在某点及在区间上连续的几种等价定义，尤其是 - 定义。2熟悉函数间断点及类型。3熟练掌握闭区间上连续函数的三大性质及其应用。4熟练掌握区间上一致连续函数的定义、判断和应用。第 2 页，共 5 页5知道初等函数的连续性。第五章 导数和微分1掌握导数的定义、几何意义，领悟其思想内涵；熟悉单边导数概念及应用。2掌握求导四则运算法则、熟记基本初等函数的导数。3熟练掌握复合函数求导的链式法则。4掌握参量函数、隐函数的求导法、对数求导法。5熟练掌握乘积函数求导的 Leibniz 公式。6掌握微分的概念，领悟其思想内涵；并会用微分进行近似计算。7熟练掌握复合函数微分及一阶微分形式不变性。8理解连续、可导、可微之间的关系。9熟练掌握高阶导数的各种求解方法。第六章 微分中值定理及其应用1熟练掌握微分中值定理及其应用，会证明中值点 的存在性问题。2熟练运用洛必达法则求极限。3熟练掌握单调区间、极值、最值的求法。4熟练掌握 Taylor 公式思想、方法及应用。5掌握曲线的凹凸性及拐点的求法，并掌握凸函数及性质。6熟练应用函数单调性、凹凸性等等工具证明函数不等式。第七章 实数完备性1了解区间套、覆盖、有限覆盖、聚点等概念的含义。2掌握实数完备性各定理的具体内容，领悟其证明的思想内涵。3掌握闭区间上连续函数有界性、最值性、介值性、一致连续性定理的证明。4理解上极限、下极限的概念和等价叙述。第八章 不定积分1知道原函数与不定积分的概念。2熟练掌握换元法、分部积分法。3会计算有理函数的积分。4会计算三角函数有理式、某些简单无理式的积分。第九章 定积分1深刻领会定积分的定义和性质。2深刻理解微积分基本定理，并会熟练应用。3熟练掌握换元法、分部积分法计算定积分。第 3 页，共 5 页4知道可积条件和可积类。第十章 定积分的应用1熟练掌握平面图形面积的计算。2熟练掌握旋转体或已知截面面积的体积。3会利用定积分求孤长、旋转体的侧面积。第十一章 反常积分1了解反常积分收敛性定义。2熟练掌握反常积分敛散性判别法（Cauchy、Abel、Dirichlet 三大判别法） ，重点在无穷积分。第十二章 数项级数1知道级数收敛和发散的定义、性质。2熟练掌握正项级数收敛的各种判别法。 （比较判别法、比式判别法、根式判别法、积分判别法等）3熟练掌握条件收敛、绝对收敛及 Leibniz、Abel、Dirichlet 三大判别法。4理解条件收敛、绝对收敛级数的特殊性质。第十三章 函数列与函数项级数1深刻理解函数列、函数项级数一致收敛的 -N 定义。2熟练掌握函数列、函数项级数一致收敛的判别法。3熟练掌握一致收敛函数列和一致收敛函数项级数的性质。第十四章 幂级数1掌握幂级数收敛域、收敛半径以及和函数的求法，知道幂级数的若干性质。2熟练掌握函数的幂级数展开的方法。3会求幂级数的和函数及某些数项级数的和。第十五章 傅里叶级数1熟记以 周期的付里叶系数公式，会求函数的傅里叶展式。2掌握余弦级数，正弦级数的求法。3理解收敛性定理，掌握 Bessel 不等式、Lebesgue 引理等几个重要定理。4知道 Parseval 等式并运用其求某些数项级数的和。第十六章 多元函数的极限与连续1了解平面点集的若干概念、平面点集的完备性定理。2掌握二元函数之二重极限、二次极限的定义和计算。3掌握二元函数连续性及其性质。第十七章 多元函数微分学第 4 页，共 5 页1掌握全微分和偏导数的概念、了解其几何性质。2会计算偏导数和全微分，会计算高阶偏导数（尤其是二阶偏导数） 。3熟练掌握多元复合函数求导的链式法则、理解一阶全微分形式不变性。4掌握二元函数连续、偏导数连续、可微、可偏导之间的多角关系。5知道二元函数中值定理与 Taylor 公式。6熟练掌握多元函数极值、最值的求解方法，并会运用于解决实际问题。7了解方向导数与梯度及其几何、物理意义。第十八章 隐函数定理及其应用1理解隐函数（组）定理。2会求隐函数（组）的微分。3会求空间曲线的切线与法平面，会求空间曲面的切平面与法线。4熟练掌握条件极值的 Lagrange 乘数法。第十九章 含参量积分1掌握含参量正常积分的定义及性质。2熟练掌握含参量反常积分一致收敛定义、判别法。3熟练掌握一致收敛含参量反常积分的性质（连续性、可导性、可积性） 。4掌握 Euler 积分并用于计算某些反常积分；掌握用积分号下求导数等方法计算某些积分和反常积分。第二十章 曲线积分1理解第一、二型曲线积分的概念及物理意义。2熟练掌握两型曲线积分的基本参数计算公式。3熟练掌握格林公式。4掌握第二型曲线积分与路径无关的条件，会求全微分式的原函数。第二十一章 重积分1知道二重积分、三重积分定义与性质，理解分割、求和、取极限三部曲内涵。2熟练掌握二重积分、三重积分的直角坐标计算-化为累次积分。3熟练掌握二重积分、三重积分的变量替换。重点是极坐标变换、柱坐标变换球坐标变换及广义球坐标变换。4知道重积分几何应用，会求曲面面积、重心坐标等。第二十二章 曲面积分1理解第一、二型曲面积分的概念及物理意义；了解两种曲面积分的转换关系。2掌握两型曲面积分的直角坐标计算公式。3熟练掌握 Gauss 公式和 Stokes 公式。第 5 页，共 5 页说明：1. 以上内容凡要求深刻理解、深刻领会、熟练掌握者皆是考试和复习之重点内容。要求理解、领会、掌握者重要性相对次之。2. 参考教材： 数学分析 （第四版） ，华东师大数学系编，高等教育出版社。