第 1 页 共 7 页2017 年全国硕士研究生招生考试初试自命题评分标准科目名称：概率论与数理统计（B 卷）科目代码：831一、选择题(共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分)1.已知 , ，则 等于（ C ）.)0.7PA()0.3B()PABA. 0.3； B. 0.4； C. 0.6； D.0.7. 2.已知随机变量 的概率密度函数为 ，则系数 等于（ B X3,0()xaefa）A. -3 B.3 C. -1/3 D. -1/3 3.设随机变量 服从 分布， 服从参数为 的泊松分布，且 相互独(8,0.5)bY2,XY立，则 =（ C ）(32)DXYA. 2 B. 10 C. 26 D. 42 4.随机变量 相互独立且都服从标准正态分布，则下列选项不正确的是（ C ）,（A） ； （B） ；(0).5PY(0).5PXY（C） ； （D） .max,2Xmin,25.已知随机变量 服从正态分布 ， 服从正态分布 ，且1(0,)N2()N相互独立. 设 ，若 服从 分布，则 的取值12, 21YabXY),ab分别为（ B ）（A） ； （B） ； （C） ； （D） . 5,54,514256.设 是来自正态总体 的简单随机样本. 记 ,12,nX 2(,)1niiX, 则下列选项不正确的是（ B ） 221()iiS（A） ； （B） ；2)()nn: ()XtnS:（C） ； （D） . 221()()niiX (0,1)N第 2 页 共 7 页二、填空题(共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分)1.事件 独立，若 ，则 等于,AB(0.4,()0.7PAB(|)PA0.52.某人投篮，每次命中的概率为 ，现独立投篮 3 次，则至少命中 1 次的概率为 3226/27 .3.已知随机变量 服从参数为 1 的泊松分布，随机变量 服从区间 上的均匀XY(0,2)分布，且 相互独立，则 E(2X-3Y )= -1 . 期望是线性运算Y、4.已知随机变量 的方差分别为 ，且协方差 ，、 2,1D(,).6CovXY则 =1.8.)(D5. 设总体 X 服从参数为 的指数分布, X1 ,X2 ,X3, X4 为来自 的一个简单随机样本,若 是未知参数 的无偏估计，则常数 c = 1/4 .32146c6.设 是来自正态总体 的容量为 的简单样本，2+1,mn (0,1)Nn则统计量 服从的分布是21()iiniimX(,)Fmn三、计算题(共 9 小题，每小题 10 分，共 90 分)1.某工厂有三条流水线生产同一产品，每条流水线生产的产品数量分别占总量的，又这三条流水线的次品率分别为 .现从出25%,3400.5,42厂的产品中任取一件，发现其为次品，求此次品来自于第二条生产线的概率.解：设 表示取到次品； 表示此次品来自于第 i条生产线， ，则所求概BiA1,3i率为2231(|)()(.('). 8'|510.4250.iiiPAPBB2.(10')10.692.已知连续型随机变量 的概率密度函数为X，2(),)30xfx其 它（1）求概率 ；（2）求 .(1/)PX1()EX第 3 页 共 7 页解：（1）由题意120(0)().(4')3.5'6xPXd（2）由随机变量函数的数学期望的性质101()()2().(9')353. 10'EfxddxX3.已知二维连续型随机变量 的联合概率密度函数为(,)XY，0(,),yexyfx其 它（1）求概率 ；1PY（2）分别求出 关于 的边缘密度函数 ,并判断 是否(,)X、 ()XYfxfy、 ,XY独立。解：（1）由题意 1122(1)00(),.(2').4'().xyxxxPYfdydee (5')（2）由边缘密度函数的定义 ,0() .(7')0,yxxXeef其 它其 它 0,() .(9'),y yYdf其 它其 它 因为当 时， ，故 不独立。0,x()()XYfxfX、 .10'4.设二维离散型随机变量 的联合分布律为,已知 ，且 的协方差 , 求 的值.0.2EX,Y(,)0.18CovXY,abc101a.b2第 4 页 共 7 页解：由题意，可得 关于 的边缘分布律为 ，(,)XY10.2abc故 ，即0.1.2EXca0.3.(')ac又 关于 的边缘分布律为 ,(,)Y1.b的分布律为 ,X10.3cba故有 (,)()()0.2().18CovYEXYca即 0.6. .(6')ac又 ，可得1,1ijPij0.7.8'abc故 0.45,.,0.5.(10')abc5.设随机变量 在区间(0,3)上服从均匀分布，随机变量Y.,121kYkX求：（1） 的联合分布律；（2） 的相关系数 .1(,)X2(,)12X解：（1）由题意；12(0,)(1,)3PPY12(0,)(,)0PXPY； .12(,)(,2)X12(,)(1,2)3故 的联合分布律为).(5')（2）由（1）可得 11221223,9;13,9;()3.(8')EXDEXDEX2X10 10 /301 /第 5 页 共 7 页故12121212(,)().(10')XCovEXDD6. 二维随机变量 的联合概率密度函数为,Y3,0,()xyxfy其，求：（1） ；（2） 关于 的边缘概率密度函数 ；PX(,)Y()Yfy（3）在 的条件下， 的条件概率密度函数 .1Y|13Xfx解：（1）由题意= .(1)()xydyf),(.(3)x112/3=5/8 .(4)/1)(d（2）由边缘密度函数的定义.(5)xyfyf),()(Y.(7)（3）由条件概率密度函数的定义:在 的条件下， 的条件概率密度函数13YX.(10)7. 已知总体 服从参数为 的几何分布，即 的分布律为X(01)p， ，若 为来自总体 的一个容量1()xPXxp,2 2,nX X为 的简单样本，求参数 的最大似然估计量。n解：似然函数为 11().(3')inxiL1ll()ln(.5'nipp对 数 似 然 函 数11ln()00.(8').10'niniixdLppX令 的 最 大 似 然 估 计 量第 6 页 共 7 页8. 从自动机床加工的同类零件中抽取 16 件测其长度（单位：mm ），测得平均长度为 12.08 mm，样本方差 S2=0.0024.假设零件长度服从正态分布 ，求2(,)N零件长度方差 的置信度为 95%的置信区间. （结果保留二位有效数字，备用数据：2, , , ）5.7)1(205.852)16(02.26.)1(297.091.6)(975.0解： 未知， 的无偏估计量为 ，S统计量 , 的置信度为 1- 的置信区间为)1()(22nSn2（ ， ）.(4)1(2)(2-1因为 ，n=16，利用 和 .(6)0.955.271(205.26.)1(2975.0经计算，经计算， ，.(8)12.8nix221()().3niiSx代入* MERGEFORMAT (2.27)，得 的置信度为 95%的置信区间为2（0.0013，0.0059）.(10)9. 某产品含铅量服从正态分布，今从一批产品中随机抽取 5 个样品,它们的含铅量(%) 依次为 :3.25 ，3.27， 3.24 ，3.26 ，3.24，问在显著水平 下能否0.1接受这批产品铅含量的均值为 3.25. ( ） t 0.005(5)=4.0322)0.54).61,t解 由题意需检验 ,方差未知，则此检验的拒绝0 0:32,:H域为 ， .(4)2_0| (1)XttnS现在 , 算得_5,3.2,.134,nxs.0.5(4).61,t.(8)_0|.XtSn未落在拒绝域中，故接受 ，即可认为这批产品的含铅量为 3.25.t 00:3.25H.(10)四、应用题（12 分）某幼儿园准备举行一次六一文艺汇演，为了做好准备工作，学校现要统计来第 7 页 共 7 页参加此次汇演的家长人数. 设各学生来参加汇演的家长数相互独立，且每个学生无家长，有 名家长或 名家长来参加此次汇演的概率约为 , , .已知此幼120.581儿园共有 名学生，用中心极限定理估计来参加此次汇演的家长数超过 的概40 450率（保留小数点后四位数字，备用数据: ， ）.194.36(.)79解：设 表示第 个学生来参加文艺汇演的家长数，i =1,2,.,400.由题意，iXXi,i=1,2,.,400独立同分布，且分布律为.(4)012.58.由中心极限定理, 近似服从正态分布 N(440,76).(6)401iiX因此所求概率为.(9).(12)