2011年中科院考研真题高等代数.doc
中国科学院-中国科学技术大学 2000 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试卷科目: 线性代数与解析几何注: 表示下标, 上下连续的(或 表示同一个大(或.一、填空(每空 4 分, 共 48 分 )设 R3 中向量(-1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ), (-1 ), ( 0 )( 1 ) ( 0 ) (-1 )(-4 ) ( 4 ) ( 4 ) ( 3 ), (-3 ), ( 1 )( 4 ) ( 0 ) (-4 )(1) 在基, 和基, 下的坐标分别是_和_.(2) 从基,到基,的过渡矩阵是_.又设 R3 的线性变换 A 使得 A, A , A, 则(3) A 在基, , 和标准基( 1 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ),( 1 ),( 0 ) 下的矩阵分别是_,_和_.( 0 ) ( 0 ) ( 1 )(4) A 的特征多项式是 _,最小多项式是_,特征值是_.(5) A 的不变因子是 _,初等因子是 _,若当标准型是_.二、(12 分) 求过三点(3,0,0),(0,2,0),(0,0,1)的平面的方程, 以及过这三点的圆的方程.三、(12 分) 设 A 是数域 F 上的 n 维线性空间 V 的线性变换. 记 V=Ker Ai, V=Im Ai.i=0 i=0证明:(1) V和 V是 A 的不变子空间 ;(2) VV V.四、(14 分) n _ _设实二次型 Q(x)(x-x)2, 其中 x(1/n)(x+x+.+x).i=0 试求 Q(x)的秩和正负惯性指数.五、(14 分)设 A 是从 m 维欧几里德空间 E到 n 维欧几里德空间 E的线性映射.试怔: 存在 E和 E的标准正交基 , 使得 A 在它们下的矩阵形如( D 0) ( 0 0), 其中 D 是一个对角形方阵