重庆理工大学硕士研究生试题专用纸第 1 页重庆理工大学考研辅导：xxx-nls重庆理工大学 2017 年攻读硕士学位研究生入学考试试题学院名称：理学院 学科、专业名称：应用数学,统计学考试科目（代码）：819 高等代数 A 卷 （试题共 4 页）注意：1.所有试题的答案均写在专用的答题纸上，写在试题纸上一律无效。2.试题附在考卷内交回。一、填空题(每空 3 分, 共 15 分)1.已知行列式,251274346D则 ,其中 分别表示元素 的3123597=AM,ijMAija余子式和代数余子式.2. 已知线性方程组 无解,则 .123+1x=3.已知三阶方阵 的行列式 , 为 的伴随矩阵,则A=9A_ _.164. 若 阶方阵 满足 ,且 ,这里 为 阶单位矩n|0I23IOIn阵,则 的特征值只能是_ .A5. 若实对称矩阵 与 合同,则二次型 的典范形式1=023BTXA为 .二、选择题(本题共 5 小题, 每小题 3 分, 共 15 分. 在每小题给的四个选项中只重庆理工大学硕士研究生试题专用纸第 2 页重庆理工大学考研辅导：xxx-nls有一项符合题目要求, 把所选项前面的字母填在题后括号内)1. 数域 上的多项式 没有重因式的充分必要条件是( ).F)fx(A) 没有重根()fx(B) 的导数 没有重因式f()fx(C) 与 互素()fxf(D) 在 中没有根fF2. 设 为 矩阵, 且秩 = , 则( ).A45A4(A) 的列向量组线性无关(B) 方程组 的增广矩阵 的行向量组线性无关xb(C) 方程组 有唯一解(D) 方程组 的增广矩阵 的任意四个列向量构成的向量组线性无关3. 设 阶可逆矩阵 满足 , 则 的伴随矩阵 满足( ).nA2=|IA(A) (B) = 1=|(C) (D)| |nI4. 已知 是实对称矩阵 的三个特征值, 且对应于1236, A的特征向量为 . 则 对应于12=12=(,0) (1,)TTA的特征向量为( ).3(A) (B) ,0)T (1, )T(C) (D) (,1,重庆理工大学硕士研究生试题专用纸第 3 页重庆理工大学考研辅导：xxx-nls5. 实二次型 为正定的充分必要条件为( ).12(,)TnqxXA(A) |>0A(B) 存在 使得12=(,)TnXx 0T(C) 存在 阶可逆矩阵 使得nCA(D) 的负惯性指数为零A三、(15 分)设多项式 且43(22,fxaxb2()+,gxaCx整除 .()g)(1) 求 的值；(6 分),ab(2) 判断 有无重因式；(4 分)(fx(3) 将 表示成 的多项式. (5 分)f+1四、(12 分)(1) 证明 , 其中 为同阶方阵；(4 分)AB,AB(2)计算 阶行列式 ,其中 为 阶单位阵, 是如下 阶方阵2n2nnIDn n. (8 分)11aAa 重庆理工大学硕士研究生试题专用纸第 4 页重庆理工大学考研辅导：xxx-nls五、(18 分)设这里 为 的伴随矩阵, 12=0，AA1,2P且矩阵 满足 .BP(1) 证明 可逆,并求 及其逆；(8 分)(2) 求矩阵多项式 .(10 分)32()fB六、(15 分)问 为何值时, 线性方程组123()1,542(),x有唯一解, 无解, 或有无穷解? 并在有无穷解时, 求出其通解.七、(15 分)设数域 上的 3 维向量空间 的线性变换 在基 下的矩FV123,阵为 .120=436A(1) 求 的核空间 及维数；(5 分)ker()(2) 求 的像空间的维数；(5 分)(3) 判定 能否相似对角化. (5 分)A八、(10 分) 设 是秩为 ( )的 阶方阵，且满足 ,证明: r0n2A(1) ；(4 分)(2RI(2) 可相似对角化；(3 分)A(3) 是可逆的 , 这里 为 阶单位阵. (3 分)3IIn九、(15 分) 设 是 5 维欧氏空间 的一个规范正交基, , 1234,， VW123(,)L重庆理工大学硕士研究生试题专用纸第 5 页重庆理工大学考研辅导：xxx-nls其中 , , .123=+2124 31234=+5(1) 求 的一个基；(6 分)W(2) 求 的一个规范正交基；(6 分)(3) 求 在 中的正投影. (3 分)13十、(20 分)给定 3 阶实对称矩阵 ,且其特征值为 , ,已知A1=231是 的属于特征值 的特征向量.1(0,T1(1) 求 ；(14 分)A(2) 应用变量的正交变换 ,将 化为标准形，其中123(,)=TfxXA，并指出方程 表示何种二次曲面. 123(,)=TxX,1(6 分)