苏州科技大学2019年硕士研究生招生数学分析.pdf
苏州科技大学 2019 年硕士研究生入学初试考试大纲 命题学院: 数理学院 考试科目名称: 数学分析 说明:考试用具:常规考试用具。 一、考试基本要求 数学分析 考试大纲适用于报考数学专业硕士研究生的入学考试。 本考试是为招收基础数 学、 应用数学、 概率论与数理统计专业硕士生 而拟设的具有选拔功能的考试。 其主要目的是测试 考生对数学分析最基本内容的理解、 掌握和熟练程度。 要求考生熟悉数学分析的基本理论、 掌握 数学分析的基本方法, 具有较强的抽象思维能力、逻辑推理能力和运算能力。 二、考试内容和考试要求 (一) 实数集与函数 1、实数:实数的概念,实数的性质,绝对值与不等式; 2、数集、确界原理:区间与邻域,有界集与无界集,上确界与下确界,确界原理; 3、函数概念:函数的定义,函数的表示法(解析法、列表法、和图象法),分段函数; 4、具有某些特征的函数:有界函数,单调函数,奇函数与偶函数,周期函数。 要求: 了解数学的发展史与实数的概 念, 理解绝对值不等式的性质 , 会解绝对值不等式 ; 弄清区 间和 邻域的 概念, 理解 确界概 念、确 界原理,会利 用定 义证明 一些简 单数集 的确界; 掌握 函数的 定义及函数的表示法,了解函数的运算;理解和掌握一些特殊类型的函数。 (二) 数列极限 1、极限概念; 2、收敛数列的性质:唯一性,有界性,保号性,单调性; 3、数列极限存在的条件:单调有界准则,迫敛性法则,柯西准则。 要求: 逐步透彻理解和 掌握数列极限的概念 ; 掌握并能运用 -N 语言处理极限问 题; 掌握收敛数 列的 基本性 质和 数列 极 限的存 在条件(单调 有 界函 数和 迫敛性 定理 ),并 能运用 ; 了解 数 列极 限柯 西准则,了解子列的概念及其与数列极限的关系;了解无穷小数列的概念及其与数列极限的关系. (三) 函数极限 1、函数极限的概念,单侧极限的概念; 2、函数极限的性质:唯一性,局部有界性,局部保号性,不等式性,迫敛性; 3、函数极限存在的条件:归结原则(Heine 定理) ,柯西准则; 4、两个重要极限; 5、无穷小量与无穷大量,阶的比较。 要求 :理解 和掌握 函 数极限 的概念 ;掌 握 并能应用 - , -X 语言 处理极 限问题 ; 了解 函数的 单 侧 极限, 函数极限的柯西准则; 掌握函数极限的性质和归结原则; 熟练掌握两个重要极限来处理极 限问题。 (四) 函数连续 1、函数连续的概念:一点连续的定义,区间连续的定义,单侧连续的定义,间断点及其分类; 2、连 续函数的性质 :局部性质及 运算,闭区间 上连续函数的 性质(最大最 小值性、有界 性、介 值性、一致连续性) ,复合函数的连续性,反函数的连续性; 3、初等函数的连续性。 要求: 理解与掌握一元函数连续性、 一致连续性的定义及其证明, 理解与掌握函数间断点及其分类, 连续函数的局部性质; 理解单侧连续的概念; 能正确叙述和简单应用闭区间上连续函数的性 质;了解反函数的连续性,理解复合函数的连续性,初等函数的连续性。 (五) 导数与微分 1、导数概念:导数的定义、单侧导数、导函数、导数的几何意义; 2、 求导法则: 导数公式、 导数的运算 (四则运算 )、 求导法则 (反函数的求导 法则 , 复合函数的求 导法则,隐函数的求导法则,参数方程的求导法则) ; 3、微分:微分的定义,微分的运算法则,微分的应用; 4、高阶导数与高阶微分。 要求: 理解和掌握导数与微分概念, 了解它的几何意义; 能熟练地运用导数的运算性质和求导法 则求函数的导数; 理解单侧导数、 可导性与连续性的关系, 高阶导数的求法; 了解导数的几何应 用,微分在近似计算中的应用。 (六) 微分学基本定理 1、中值定理:罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理; 2、几种特殊类型的不定式极限与罗比塔法则; 3、泰勒公式。 要求: 掌握中值定理的内容 、 证明及其应用; 了解泰勒公式及在近似计算中 的应用, 能够把某些 函数按泰勒公式展开;能熟练地运用罗必达法则求不定式的极限 (七) 导数的应用 1、函数的单调性与极值; 2、函数凹凸性与拐点. 要求 :了解 和掌握 函 数 的某些 特性(单调 性 、极 值与 最值、 凹凸 性 、拐点 )及其 判断 方 法,能利用 函数的特性解决相关的实际问题。 (八) 实数完备性定理及应用 1、实 数完备性六个 等价定理:闭 区间套定理、 单调有界定理 、柯西收敛准 则、确界存在 定理、 聚点定理、有限覆盖定理; 2、闭 区间上连续函 数整体性质的 证明:有界性 定理的证明, 最大小值性定 理的证明,介 值性定 理的证明,一致连续性定理的证明; 3、上、下极限。 要求: 了解实数连续性的几个定理和 闭区间上连续函数的性质的证明; 理解聚点的概念, 上、 下 极限的概念。 (九) 不定积分 1、不定积分概念; 2、换元积分法与分部积分法; 3、几类可化为有理函数的积分; 要求: 理解原函数和不定积分概念; 熟练掌握换元积分法 、 分部积分法、 有理式积分法、 简单无 理式和三角有理式积分法。 (十) 定积分 1、定积分的概念:概念的引入、黎曼积分定义,函数可积的必要条件; 2、 可积性条件: 可积的必要条件 和充要条件, 达布上和与达布 下和 , 可积函数类(连续函数 , 只 有有限个间断点的有界函数,单调函数); 3、微积分学基本定理:可变上限积分,牛顿-莱布尼兹公式; 4、非 正常积分:无 穷积分收敛与 发散的概念, 审敛法(柯西 准则,比较法 ,狄利克雷与 阿贝尔 判别法) ;瑕积分的收敛与发散的概念,收敛判别法。要求: 理解定积分概念及函数可积的条件; 熟悉一些可积分函数类, 会一些较简单的可积性证明; 掌 握定 积分与 可变上 限 积 分 的 性质; 能较好 地运 用牛顿 -莱 布尼兹 公式, 换元 积分法 ,分部 积 分 法计算一些定积分。 掌握广义积分的收敛 、 发散 、 绝对收敛与条件收敛等概念 ; 能用收敛性判别 法判断某些广义积分的收敛性。 (十一) 定积分的应用 1、定 积分的几何应 用:平面图形 的面积,微元 法,已知截面 面积函数的立 体体积,旋转 体的体 积平面曲线的弧长与微分,曲率; 2、定积分在物理上的应用:功、液体压力、引力。 要求:重点掌握定积分的几何应用;掌握定积分在物理上的应用;在理解并掌握“微元法“。 (十二) 数项级数 1、级数的敛散性:无穷级数收敛,发散等概念,柯西准则,收敛级数的基本性质; 2、正项级数:比较原理,达朗贝尔判别法,柯西判别法,积分判别法; 3、一 般项级数:交 错级数与莱布 尼兹判别法, 绝对收敛级数 与条件收敛级 数及其性质, 阿贝尔 判别法与狄利克雷判别法。 要求: 理解无穷级数的收敛、 发散、 绝对收敛与条件收敛等概念 ; 掌握收敛级数的性质; 能够应 用正项级数与任意项级数的敛散性判别法判断级数的敛散性;熟悉几何级数调和级数与 p 级数。 (十三) 函数项级数 1、一致收敛性及一致收敛判别法(柯西准则,优级数判别法,狄利克雷与阿贝尔判别法) ; 2、一致收敛的函数列与函数项级数的性质(连续性,可积性,可微性) 。 要求:掌握收敛域、极 限函数与和函数一致敛等概念; 掌握极限函数与和函数的分析性 质 (会证 明);能够比较熟练地判断一些函数项级数与函数列的一致收敛。 (十四) 幂级数 1、幂 级数:阿贝尔 定理,收敛半 径与收敛区间 ,幂级数的一 致收敛性,幂 级数和函数的 分析性 质; 2、几种常见初等函数的幂级数展开与泰勒定理。 要求: 了解幂级数, 函数的幂级数及函数的可展成 幂级数等概念; 掌握幂级数的性质 ; 会求幂级 数的收敛半径与一些幂级数的收敛域; 会把一些函数展开成幂级数, 包括会用间接展开法求函数 的泰勒展开式 (十五) 付里叶级数 1、 付里叶级数: 三角函数与正交函数 系, 付里叶级数与傅里叶 系数, 以 为周期函数的付里叶 级数, 收敛定理; 2、以 2 L 为周期的付里叶级数; 3、收敛定理的证明。 要求: 理解三角函数系的正交性与函数的傅里叶级数的概念; 掌握傅里叶级数收敛性判别法; 能 将一些函数展开成傅里叶级数;了解收敛定理的证明。 (十六) 多元函数极限与连续 1、平面点集与多元函数的概念; 2、二元函数的极限、累次极限; 3、二元函数的连续性:二元函数的连续性概念、连续函数的局部性质及初等函数连续性。 要求: 理解平面点集 、 多元函数的基本 概念; 理解二元函数的 极限、 累次极限、 连续性概念 , 会 计算一些简单的二元函数极限;了解闭区间套定理,有限覆盖定理,多元连续函数的性质。 (十七) 多元函数的微分学 1、 可微性 : 偏导数的概念 , 偏导数的几何意 义, 偏导数与连续性 ; 全微分概念; 连续性与可微性,偏导数与可微性; 2、多元复合函数微分法及求导公式; 3、方向导数与梯度; 4、泰勒定理与极值。 要求: 理解并掌握偏导数、 全微分、 方向导数、 高阶偏导数及极值等概念及其 计算; 弄清全微分 、 偏导数、连续之间的关系;了解泰勒公式;会求函数的极值、最值。 (十八) 隐函数定理及其应用 1、隐函数:隐函数的概念,隐函数的定理,隐函数求导举例; 2、隐函数组:隐函数组存在定理,反函数组与坐标变换,雅可比行列式; 3、几 何应用:平面 曲线的切线与 法线,空间曲 线的切线与法 平面,曲面的 切平面和法线 ; 条件 极值:条件极值的概念,条件极值的必要条件。 要求: 了解隐函数的概念及隐函数的存在定理, 会求隐函数的导数; 了解隐函数组的概念及隐函 数组定理, 会求隐函数组的偏导数 ; 会求曲线的切线方程 , 法平面方程 , 曲面的切平面方程和法 线方程;了解条件极值概念及求法。 (十九) 重积分 1、二重积分概念:二重积分的概念,可积条件,可积函数,二重积分的性质; 2、二重积分的计算:化二重积分为累次积分,换元法(极坐标变换,一般变换) ; 3、含参变量的积分; 4、三重积分计算:化三重积分为累次积分, 换元法(一般变换,柱面坐标变换,球坐标变换) ; 5、重积分应用:立体体积,曲面的面积,物体的重心,转动惯量; 6、 含参 量非正常积分 概念及其一致 敛性:含参变 量非正常积分 及其一致收敛 性概念,一致 收敛 的判别法(柯西准则, 与函数项级数一致收敛性的关 系, 一致收敛的 M 判别法), 含参变量非正常 积分的分析性质; 7、欧拉积分:格马函数及其性质, 贝塔函数及其性质。 要求: 了解含参变量定积分的概念与 性质 ; 熟练掌握二重 、 三重积分的概念、 性质、 计算及基本 应用; 了解含参变量非正常积分的收敛与一致收敛的概念; 理解含参变量非正常积分一致收敛的 判别定理,并掌握它们的应用;了解欧拉积分。 (二十) 曲线积分与曲面积分 1、第一型曲线积分的概念、性质与计算,第一型曲面积分的的概念、性质与计算; 2、第二型曲线积分的概念、性质与计算,变力作功,两类曲线积分的联系; 3、格林公式,曲线积分与路线的无关性, 全函数; 4、曲面的侧,第二型曲面积分概念及性质与计算,两类曲面积分的关系; 5、高斯公式,斯托克斯公式,空间曲线积分与路径无关性; 6、场论初步:场的概念,梯度,散度和旋度。 要求: 掌握两类曲线积分与曲面积分的概念、 性质及计算; 了解两类曲线积分的关系和两类曲面 积分的关系; 熟练掌握格林公式的证明及其应用, 会利用高斯公式、 斯托克斯公式计算一些曲面 积分与曲线积分;了解场论的初步知识。 三、考试基本题型 主要题型可能有:判断题、填空题、计算题、证明题、应用题等。试卷满分为 1 5 0 分。