1 大连理工大学 2019 年单独考试硕士研究生入学考试大纲数学单考“数学”试题分为客观题型和主观题型，其中客观题型（填空题）占 40%，主观题型（计算题、简单的的推导与证明题）占 60%，具体复习大纲如下：一、函数、极限、连续1 理解数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限。类型 axfxfaxfx)(lim)(li)(lim0002 理解并掌握无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较。当 时 0x1)ln(sixex3 求极限的方法：熟练理解并掌握极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限 利用连续性 两个重要极限 exexxxx 1lim1lisinl0 无穷小等价代换当 时 x1)ln(sixe2cosx “ ”型 利用重要极限式指数化1xgf)( )(1lnim)(lnlim)(li xgfxfgxgeef 有理函数 极限（ ）QPR,04.理解函数的连续性（含左连续与右连续） 、会求函数间断点的类型。类型 )(lim)(li)(li 00000 xffxfxff xxx 理解续函数的性质和初等函数的连续性，能判断分段函数的连续性。1定义：如果 那么就称函数 在点 连续。)(lim00fx )(fy00limyx 2 2主要条件： （由此可求两个参数）)(lim)(li00 xfxfx4 熟练理解并掌握闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理、零点定理)。二、一元函数微分学1. 理解导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、掌握平面曲线的切线和法线方程的计算方法。导数定义： = ，)(0xf xffyx)(limli 00和 hffh)li00 00)(li)(0xffxaxffaxf )()()(00 hfffhli00可导必连续，连续未必可导2. 掌握基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性。初等函数求导公式（16 个求导公式，5 个求导法则）导 数 公 式 微 分 公 式1)(x dxxd1)(cossin cosinxi)( xi)(2secta dd2sectax)(o x)(oxtansec xtansecxo)( xdd)(xl xle)( e)(axaln1log dxadaln1log)( )(21arcsix dxxd21arcsi 3 21)(arcosxx dxxd21)(arcos2tn 2tn1)co(xar dxxarcd1)o(（1） )()vuxvu（2） ， )( )()(xuc（3） 。 0()()(2 xvxvuxvu )0()(2xvv(4) 复合函数导数 ， 称为中间变量，,gfyfyuduy（5） ；参数方程求二阶导数 ，)(txdtxdtxy2)(ty)(32txy3. 熟练掌握复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法。例如：隐函数求二阶导数：F(x,y )=0 y=y(x),方程两边对 x 求导，y 的函数看成 x 的复合函数4. 理解高阶导数的概念并会计算分段函数的二阶导数、某些简单函数的 n 阶导数。5. 熟练理解并掌握微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理。6. 熟练理解并掌握利用洛必达(LHospital)法则与求未定式极限。例如：洛必达法则：“ ， ”型 0)(lim)(li00xgfxfx7. 理解函数的极值并会利用导数判别函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)。1方法：利用最值，单调性证不等式单调性：单调升： ，当 时)(21xff21x单调降： ，当 时)(21xf， 单调升， ， 单调降0f 0ff利用单调性证不等式，证 ， ，)(xg)(xgfh0h2求导时最多到二阶 4 8. 理解函数最大值和最小值并掌握其简单应用。三、一元函数积分学1. 理解原函数和不定积分的概念.1原函数：在区间上，若 ，称为的一个原函数。)(xfF2不定积分：在区间 上， 的原函数的全体称为 的不定积分，记为I )(xfcxdf)()(2. 理解不定积分的基本性质、基本积分公式. 是常数) kCxkd( )1(1Cxd , x|ln axxln Cedx Cdsico cossin xxtanec22 Cxdxti22 stans(11) (12)csotcs Cxdrci12(13)xdxartn123. 理解定积分的概念和基本性质，掌握定积分中值定理、理解变上限定积分确定的函数并会求其导数、掌握牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式.例如： )(aFbxdfaba ，)ftx xfdtfx4. 掌握不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法.凑分法： )()( xufdf 掌握下列常用凑分法（1） )(1)( baxfabxf（2） ddsinsinco（3） xfxf co)()( 5 分布积分法： vduuvdxux掌握（1） ceexedxx （2） cxx osinsiinsicos（3） dxxdx 4l21l2lnl 2（4） cx )artn(arctarctexxde)ossin(21os)5(简化计算的技巧例如：（1）1）若 在 上连续且为偶函数，则 )(f,aaadxfdxf0)(2)(2）若 在 上连续且为奇函数，则 x a2） 2200sindcosdnnI x131,24,.5nn为 正 偶 数为 大 于 的 正 奇 数3）换元法（结合凑微分法）5. 掌握有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分.6. 熟练掌握利用定积分计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积四.常微分方程1. 理解常微分方程的基本概念：微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等。2. 熟练掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利(Bernoulli)方程的计算方法。例如：形式 通解：()ypxq cdxeQeyPdxP)()(3. 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理.4. 掌握二阶常系数齐次线性的计算方法。例如：二阶常系数线性齐次方程通解。标准型 ，其中常数。0qyp解法：特征方程： ，特征根02qpr242,1r 6 通解 irxcerxcxYr 2,1211221)sino(,)(实 根（ 实 根5. 熟练理解并掌握简单的二阶常系数非齐次线性微分方程：自由项为多项式、指数函数，以及它们的和与积的计算方法。例如：二阶常系数线性非齐次方程通解。标准型 ，其中xmePqyp)(常数 ，,qpmmxaaxP10)( 0解法：通解 ，其中 为对应齐次方程通解， 为本身)(*yYy)(Y)(*xy的特解。，其中 ，xmkeQxy)()(*21,2,0rk且当 或当 且当mbb10)(6. 会用微分方程解决一些简单的应用问题。五、多元函数微分学1. 了解二元函数的极限和连续的概念、有界闭区域上多元连续函数的性质。2. 理解并掌握多元函数偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件。3. 熟练理解并掌握多元复合函数求二阶偏导数，会求隐函数的导数。例如：多元复合函数求偏导数设函数 和 在 点分别具有对 和 的偏导数，而对应的),(yxu),(yxv,xy函数 在相应的 点具有对 和 的连续偏导数，则复合函数fzuuv在 点具有对 的偏导数，且),(,(yx),(),(yxvzuz yvzuz同链相乘，分链相加若 和 二阶可偏导， 具有二阶连续偏导数，则),(yxu),(yxv),(vufz221112zufffy2212uvfffxy 7 4. 理解方向导数和梯度的概念，并掌握其计算方法。例如：(1) 方向导数：函数 f (x , y , z)在 ( )点沿方向 eu0P0,zyx的方向导数,cos(l )=),(0zyxlf cos),(cos),(cos,( 000 zyxfzyxfzyf zx （2）梯度：函数 f (x , y , z)在 ( )点的梯度u0P0, 0 0grad,PPffuxyz5. 会求空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线。例如：1）空间曲线切线与法平面方程设空间曲线 在 参数 ，ttzytx)( ),(00zyxPt切向量 ，切线方程：),00ttxs )()(000tztytx法平面方程： )()(000 zytt2）空间曲面的切平面与法线方程设空间曲面： 在切点 ，法向量),(zyxF),(00xP0),(PzyxFn切平面方程： ，)00 000 zFyPzyP法线方程： 000 PzyPx6. 熟练理解并掌握多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法、多元函数的最大值、最小值及其简单应用。例如：条件极值问题可表述为：求函数 在条件),(21nxfu下的极值。0),(21nxg方法：构造拉格朗日函数 ，令 ，gfxLn),(21 1xL， ， ，解出 ，代入 ，其中最2xL,nx 21n ),(2nf大（小）者为最大（小）值。 8 六、多元函数积分学 1. 理解二重积分和三重积分的概念及性质、熟练掌握二重积分的计算(直角坐标、极坐标)、会计算三重积分 (直角坐标、柱面坐标、球面坐标)。例如：1）积分区域 D 为 X型区域 ，)()(21xyxba= ，dyxf),(baxdf)(21,积分区域 D 为 Y型区域 ，)()(21yxdc= ，Ddyxf),(cydf)(21,2）对于二重积分,如果区域 关于 轴对称,函数 是关于 的奇函数(既),(xfy), 则 ;),(),(yxfxfDdyf0)(若是偶函数(既 ),则, 1),(2,Ddyxfxf 其中 是 在 轴的上半部分1Dx对于二重积分, 如果区域 关于 轴对称,函数 是关于 的奇函数(既y),(yxfx), 则 ;),(),(yxffDdxf0)(若是偶函数(既 ),则,y2),(),(DDdyxfyxf 其中 是 在 轴的右半部分2Dy2. 理解两类曲线积分的概念、性质及两类曲线积分的关系，掌握两类曲线积分的计算方法。3. 熟练掌握格林(Green)公式和平面曲线积分与路径无关的条件、会求二元函数全微分的原函数。例如：1）第二型曲线积分（平面曲线）积分形式： =LdxyP),(LdyQ),( dyxQxPL),(),(曲线积分与路径无关的充要条件之一是： 在 内恒成立；yD2）格林(Green)公式 dyxQyxPL),(), dsyPxD 9 其中 L 是 D 的正方向边界曲线。4. 了解两类曲面积分的概念、性质，掌握两类曲面积分的计算方法，熟练掌握用高斯公式计算曲面积分的方法。例如：高斯（Gauss）公式 dzyxRyxQdyxPS ),(),(),( dvzRyQxPV七、无穷级数1. 了解常数项级数的收敛与发散的概念、收敛级数的和的概念。例如：两种级数（1） 级数 当 时收敛，当 时发散p pppn1431211p（2）等比级数 当 收敛,且其和为nn aqaq20 |;当 时,等比级数发散qa11|2. 掌握级数的基本性质，掌握级数收敛的必要条件，掌握几何级数与 p 级数及其收敛性，掌握正项级数收敛性的比较判别法，掌握交错级数并会用莱布尼茨(Leibniz)判别法。例如：1）正项级数的比值判别法：正项级数 ,1nu0n2）比值审敛法， （达朗贝尔（DAlembert）判别法）设 为正项级数，如1nu果 则当 时级数收敛； (或 )时级数发散；,lim1nu1nlim时级数可能收敛也可能发散.3交错级数 的莱布尼茨定理判别法：若（1）1)(nnu)0(（ 2） 则级数收敛;,3un ,limnu4（比较审敛法的极限形式） 设 和 都是正项级数，(其中1n1nv), 如果 则,21,0nvlvunli 10 （1） 当 时，两个级数同时敛散；l0（2） 当 l=0 时,若 收敛 ,则 也收敛,若 发散，则 也发散.1nv1nu1nu1nv（3） 当 时,若 发散,则 也发散;若 收敛,则 也收敛.l1n1n1n1n3. 了解任意项级数的绝对收敛与条件收敛。4. 了解函数项级数的收敛域与和函数的概念。5. 会求幂级数的收敛半径、收敛区间（指开区间） 、收敛域。例如：幂级数 10),(,)(nnxa（1）收敛半径，收敛域：如果 其中 是幂级数 的相邻,lim1na1na、 0nxa两项的系数，则这幂级数的收敛半径 开区间 叫做幂级.,0,R),(R数的收敛区间。再由幂级数在 处的收敛性就可以决定它的收敛域是x或 这四个区间之一。,(),(RR、 ,（1） ，02nnxxx 1|（2） ，02 )()1(nn |x6. 理解幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)，熟练掌握简单幂级数的和函数的求法。7. 理解初等函数的幂级数展开式，熟练掌握应用它们将简单函数间接展开成幂级数。