硕士研究生招生 考试业务课考试 大纲 考试科 目： 数学分析 科目代码： 651 一、考试 目的和 要求 数学分 析为 招收数 学专业硕 士生而 拟设的 具有选拔 功能的 考试。 其主 要目的是测试考生对数学分析最基本内容的理解、 掌握和熟练程度。 要求考生熟 悉数学分 析的基 本理论 、掌握数 学分析 的基本 方法, 具 有较强 的抽象 思维能力、 逻辑推理能力和运算能力。 二、考试 方法 闭卷。考 试不允 许带计 算 器。 三、考试 题型 判断题、计算题、证明题等 四、考试 知识点 ( 一) 实数集 与函 数 上确界、 下确界 、确界 原理；函 数复合 、基本 初等函数 、初等 函数及 常用特 性；基本初等不等式及应用。 （ 二） 数列极 限 数列极限的 N 定义；求解各类数列的极限；收敛数列的常用性质；数列 收敛的判别条件 （ 三） 函数极 限 函数极限的 定义及其它变式；函数极限存在的条件及判别，应用两个 重要极限求解较复杂的函数极限。 无穷小量、 无穷大量的概念； 会应用等价无穷 小求极限。 （ 四） 函数连 续性 函数在某点及在区间上连续的几种等价定义， 尤其是 定义； 函数间断 点及类型； 闭区间上连续函数的三大性质及其应用； 区间上一致连续函数的定义、 判断和应用。 （ 五） 导数 和微 分 导数的定义、几何意义，复合函数、参量函数、隐函 数 求导； 微分的概念， 复合函数微分及一阶微分形式不变性。 连续、 可导、 可微之间的关系； 高阶导数的各种求解方法。 （ 六） 微分中 值定 理及其 应用 微分中值定理及其应用， 洛必达法则求极限， 单调区间、 极值、 最值的求法； Taylor 公式思 想、 方 法及应用 ；曲 线的凹 凸 性及拐点 的求 法，并 掌 握凸函数及 性质；应用函数单调性、凹凸性等等工具证明函数不等式。 （ 七） 实数完 备性 实数完备性定理， 闭区间上连续函数有界性、 最值性、 介值性、 一致连续性 定理。 （ 八） 不定积 分 原函数与不定积分， 换元积分法、 分部积分法， 有理函数的积分， 三角函数 有理式、某些简单无理式的积分。 （ 九） 定积分 积分的定义和性质， 微积分基本定理熟练应用； 换元法、 分部积分法计算定 积分；可积条件和可积类。 （ 十） 定积 分的应 用 平面图形面积的计算 ； 旋转体或已知截面面 积 的体积；定积分求孤 长 、旋 转体的侧面积。 （十 一） 反常 积分 反常积分收敛性定义， 反常积分敛散性判别法 （Cauchy、Abel、Dirichlet 三大判别法） 。 （十 二） 数项 级数 级数收敛 和发 散的定 义 、性质， 正项 级数收 敛 的各种判 别法， 条件 收 敛、 绝对收敛及 Leibniz、Abel、Dirichlet 三大判别法，条件收敛、绝对收敛级数 的特殊性质。 （十 三） 函数 列与 函数项 级数 函数列、 函数 项级数 一 致收敛的 -N 定义、 一致收敛 的判 别法； 一 致收敛 函数列和一致收敛函数项级数的性质。 （十 四） 幂级 数 幂级数收敛域、 收敛半径以及和函数的求法， 知道幂级数的若干性质； 函数 的幂级数展开的方法；幂级数的和函数及某些数项级数的和。 （十 五） 傅里 叶级 数 2 周期的付里 叶系数公 式 ，会求函数 的傅里叶 展 式，余弦级 数，正弦 级 数 的求法 ；收敛 性定 理， 掌握 Bessel 不等式 、Lebesgue 引理 等几个 重要定 理； Parseval 等式并运用其求某些数项级数的和。 （十 六） 多元 函数 的极限 与连 续 二元函数重极限、累次极限计算；二元函数连续性及其性质。 （十 七） 多元 函数 微分学 偏导数和全微分， 会计算高阶偏导数 （尤其是二阶偏导数） ， 多元复合函数 求导的链式法则、 理解一阶全微分形式不变性。 二元函数连续、 偏导数连续、 可 微、 可偏导之间的多角关系； 二元函数中值定理与Taylor 公式； 多元函数极值、 最值的求解方法，并会运用于解决实际问题。方向导数与梯度。 （十 八） 隐函 数定 理及其 应用 隐函数 （组） 定理， 隐 函数 （组） 的微分， 空 间曲线的切线与法平面， 空间 曲面的切平面与法线；条件极值的Lagrange 乘数法。 （十 九） 含参 量积 分 含参量正常积分的定义及性质， 含参量反常积分一致收敛定义、 判别法， 一 致收敛含 参量反 常积分 的性质（ 连续性 、可导 性、可积 性） ，Euler 积分并用于 计算某些反常积分；积分号下求导数等方法计算某些积分和反常积分。 （二 十） 曲线 积分 第一、二 型曲 线积分 ， 格林公式 ，二 型曲线 积 分与路径 无关的 条件 ， 会求 全微分式的原函数。 （ 二十 一） 重积 分 二重积分、 三重积分的直角坐标计算、 变量替换， 极坐标变换、 柱坐标变换 球坐标变换及广义球坐标变换，重积分几何应用，会求曲 面 面 积 、 重 心 坐 标 等 。 （ 二十 二）曲面 积分 第一、 二型曲面积分的概念及物理意义； 了解两种曲面积分的转换关系， 两 型曲面积分的直角坐标计算公式；Gauss 公式和Stokes 公式。 参 考教 材或主 要参 考书： 1数学分析（上、下册） ，华东师范大学数学系编，高等教育出版社. 2. 数学分析中的典型问题与方法，裴礼文，高等教育出版社。