2020年北京师范大学硕士研究生入学考试专业课714数学分析考试大纲.pdf
新祥旭考研辅导咨询VX:15010247108714数 学 分 析北 京 师 范 大 学 硕 士 研 究 生 入 学 考 试 数 学 分 析 大 纲参 考 书 :1. 数 学 分 析 第 二 版 上 、 下 , 陈 纪 修 等 , 高 等 教 育 出 版 社 ,2004.2. 简 明 数 学 分 析 第 二 版 , 郇 中 丹 等 , 高 等 教 育 出 版 社 ,2009.3. 数 学 分 析 第 3版 (1-3册 ), 郑 学 安 等 编 著 , 北 京 师 范 大 学 出 版社 , 2010。一 、 实 数 集 与 函 数考 试 内 容 :实 数 概 念 及 性 质 ,确 界 原 理 ,闭 区 间 套 定 理 ,函 数 的 概 念 及 表 示 法 ,函 数的 有 界 性 、 单 调 性 、 周 期 性 和 奇 偶 性 ,复 合 函 数 、 反 函 数 、 分 段 函 数 和隐 函 数 ,基 本 初 等 函 数 的 性 质 及 其 图 形 ,初 等 函 数 ,函 数 关 系 的 建 立 .新祥旭考研辅导咨询VX:15010247108考 试 要 求 :1.理 解 实 数 概 念 ,掌 握 实 数 的 小 数 表 示 及 性 质 .2.掌 握 确 界 概 念 并 会 应 用 确 界 原 理 .3.掌 握 闭 区 间 套 概 念 并 会 应 用 闭 区 间 套 定 理 .4 理 解 函 数 的 概 念 ,掌 握 函 数 的 表 示 法 ,会 建 立 应 用 问 题 的 函 数 关 系 .5.掌 握 函 数 的 有 界 性 、 单 调 性 、 周 期 性 和 奇 偶 性 6.掌 握 复 合 函 数 、 分 段 函 数 、 反 函 数 及 隐 函 数 的 概 念 7.掌 握 基 本 初 等 函 数 的 性 质 及 其 图 形 ,理 解 初 等 函 数 的 概 念 .二 、 数 列 与 一 元 函 数 的 极 限考 试 内 容 :数 列 极 限 和 函 数 极 限 ( 简 称 极 限 ) 的 定 义 ,数 列 的 上 、 下 极 限 ,函 数 的单 侧 极 限 (自 变 量 趋 于 单 点 时 函 数 的 左 极 限 与 右 极 限 ,自 变 量 趋 于 正 或负 无 限 大 时 函 数 的 极 限 ),函 数 的 单 侧 上 、 下 极 限 ,无 穷 小 量 和 无 穷 大 量的 概 念 及 其 关 系 ,无 穷 小 量 的 性 质 及 无 穷 小 量 的 比 较 ,极 限 的 性 质 ,极新祥旭考研辅导咨询VX:15010247108限 存 在 的 两 个 判 别 准 则 : 柯 西 (Cauchy)准 则 和 单 调 有 界 准 则 , 两 个重 要 极 限 , 致 密 性 定 理 ,聚 点 定 理 ,数 列 极 限 的 施 托 尔 茨 (Stolz)定 理 ,函 数 极 限 的 海 涅 (Heine)定 理 ,开 集 、 闭 集 和 紧 集 , 有 限 覆 盖 定 理 .考 试 要 求 :1 掌 握 极 限 的 概 念 (包 括 某 一 极 限 过 程 中 数 列 或 函 数 的 收 敛 与 发 散 ),理 解 函 数 左 极 限 与 右 极 限 的 概 念 以 及 函 数 极 限 存 在 与 左 、 右 极 限 之 间的 关 系 2.掌 握 极 限 的 性 质 (有 界 性 、 唯 一 性 、 保 号 性 、 算 术 性 质 、 保 序 性 、 夹逼 性 质 等 ).3.掌 握 极 限 存 在 的 柯 西 准 则 ,并 会 利 用 它 判 断 极 限 的 存 在 与 否 .4.掌 握 极 限 存 在 的 单 调 有 界 准 则 ,能 够 用 其 判 断 数 列 收 敛 或 在 某 一 极限 过 程 中 函 数 收 敛 ,并 在 可 能 的 情 况 下 求 出 极 限 .5.掌 握 致 密 性 定 理 (有 界 数 列 必 有 收 敛 子 列 ),聚 点 定 理 (有 界 无 穷 点 集至 少 有 一 个 聚 点 ).6.掌 握 利 用 两 个 重 要 极 限 求 极 限 的 方 法 ,会 用 施 托 尔 茨 定 理 求 极 限 7.掌 握 无 穷 小 量 、 无 穷 大 量 的 概 念 ,掌 握 无 穷 小 量 的 比 较 方 法 ,会 用 等价 无 穷 小 量 求 极 限 新祥旭考研辅导咨询VX:150102471088 掌 握 函 数 连 续 性 的 概 念 (含 左 连 续 与 右 连 续 ),会 判 别 函 数 间 断 点 的类 型 9.掌 握 海 涅 定 理 并 会 利 用 它 判 断 极 限 的 存 在 与 否 .10.理 解 开 集 、 闭 集 的 概 念 和 性 质 ,掌 握 紧 集 与 开 覆 盖 的 概 念 、 有 限 覆盖 定 理 .三 、 一 元 函 数 的 连 续考 试 内 容 :函 数 连 续 的 概 念 和 性 质 ,函 数 间 断 点 的 类 型 ,初 等 函 数 的 连 续 性 ,闭 区间 上 连 续 函 数 的 性 质 .考 试 要 求 :1.理 解 连 续 函 数 的 概 念 、 性 质 和 初 等 函 数 的 连 续 性 ,掌 握 闭 区 间 上 连 续函 数 的 性 质 (有 界 性 、 最 大 值 和 最 小 值 定 理 、 介 值 定 理 等 ),并 会 应 用 这些 性 质 新祥旭考研辅导咨询VX:150102471082.理 解 连 续 函 数 的 一 致 连 续 性 概 念 ,掌 握 有 界 闭 区 间 上 的 海 涅 -康 托 尔(Heine-Cantor)一 致 连 续 定 理 .四 、 一 元 函 数 微 分 学考 试 内 容 :导 数 和 微 分 的 概 念 和 关 系 ,导 数 的 几 何 意 义 和 物 理 意 义 ,微 分 的 几 何 意义 ,函 数 的 可 导 性 与 连 续 性 之 间 的 关 系 ,平 面 曲 线 的 切 线 和 法 线 ,导 数和 微 分 的 四 则 运 算 ,基 本 初 等 函 数 的 导 数 ,复 合 函 数 、 反 函 数 、 隐 函 数以 及 参 数 方 程 所 确 定 的 函 数 的 微 分 法 ,高 阶 导 数 ,莱 布 尼 兹 求 导 公 式 ,一 阶 微 分 形 式 的 不 变 性 ,微 分 中 值 定 理 ,泰 勒 (Taylor)公 式 ,洛 必 达(LHospital)法 则 ,函 数 单 调 性 的 判 别 ,函 数 的 极 值 ,函 数 的 最 大 值 和最 小 值 ,函 数 图 形 的 凹 凸 性 、 拐 点 及 渐 近 线 ,函 数 图 形 的 描 绘 ,插 值 多 项式 和 方 程 近 似 求 根 .考 试 要 求 :新祥旭考研辅导咨询VX:150102471081.理 解 导 数 和 微 分 的 概 念 ,理 解 导 数 与 微 分 的 关 系 ,理 解 导 数 的 几 何 意义 ,会 求 平 面 曲 线 的 切 线 方 程 和 法 线 方 程 ,了 解 导 数 的 物 理 意 义 ,会 用导 数 描 述 一 些 物 理 量 ,理 解 函 数 的 可 导 性 与 连 续 性 之 间 的 关 系 2.掌 握 导 数 的 四 则 运 算 法 则 、 复 合 函 数 的 求 导 法 则 ,掌 握 基 本 初 等 函 数的 导 数 公 式 了 解 微 分 的 四 则 运 算 法 则 和 一 阶 微 分 形 式 的 不 变 性 ,会 求函 数 的 微 分 3.理 解 高 阶 导 数 的 概 念 、 莱 布 尼 兹 求 导 公 式 ,会 求 一 些 简 单 函 数 的 高 阶导 数 4.会 求 分 段 函 数 的 导 数 ,会 求 隐 函 数 及 反 函 数 的 导 数 .5.掌 握 罗 尔 (Rolle)定 理 、 拉 格 朗 日 (Lagrange)中 值 定 理 、 柯 西 (Cauchy)中 值 定 理 、 达 布 导 函 数 介 值 定 理 和 泰 勒 (Taylor)定 理 (带 几 种 余 项 的 )6.掌 握 洛 必 达 法 则 以 及 用 洛 必 达 法 则 求 未 定 式 极 限 的 方 法 7.理 解 函 数 的 极 值 概 念 ,掌 握 用 导 数 判 断 函 数 的 单 调 性 和 求 函 数 极 值的 方 法 ,掌 握 函 数 最 大 值 和 最 小 值 的 求 法 及 其 应 用 8.会 用 导 数 判 断 函 数 图 形 的 凹 凸 性 ,会 求 函 数 图 形 的 拐 点 以 及 水 平 、 c垂 直 和 斜 渐 近 线 ,会 描 绘 函 数 的 图 形 9.理 解 插 值 多 项 式 和 方 程 近 似 求 根 新祥旭考研辅导咨询VX:15010247108五 、 一 元 函 数 积 分 学考 试 内 容 :原 函 数 和 不 定 积 分 的 概 念 ,不 定 积 分 的 基 本 性 质 ,基 本 函 数 的 积 分 公 式 ,定 积 分 (指 黎 曼 积 分 )的 概 念 和 基 本 性 质 ,定 积 分 中 值 定 理 ,积 分 上 、 下限 函 数 及 其 导 数 ,黎 曼 可 积 的 判 别 准 则 ,牛 顿 莱 布 尼 茨(Newton-Leibniz)公 式 ,不 定 积 分 和 定 积 分 的 换 元 积 分 法 与 分 部 积 分法 ,有 理 函 数 、 三 角 函 数 的 有 理 式 和 简 单 无 理 函 数 的 积 分 ,反 常 (广 义 )积 分 ,定 积 分 的 应 用 .考 试 要 求 :1.理 解 原 函 数 的 概 念 ,掌 握 不 定 积 分 和 定 积 分 的 概 念 ,掌 握 函 数 是 黎 曼可 积 的 必 要 条 件 ,掌 握 函 数 黎 曼 可 积 的 判 别 准 则 .2.掌 握 不 定 积 分 的 基 本 公 式 ,掌 握 不 定 积 分 和 定 积 分 的 性 质 及 定 积 分中 值 定 理 ,掌 握 换 元 积 分 法 与 分 部 积 分 法 3.掌 握 有 理 函 数 、 三 角 函 数 有 理 式 和 简 单 无 理 函 数 的 积 分 4.理 解 积 分 变 上 限 的 函 数 ,会 求 它 的 导 数 ,掌 握 牛 顿 莱 布 尼 茨 公 式 ,理 解 定 积 分 的 近 似 计 算 .新祥旭考研辅导咨询VX:150102471085.理 解 反 常 积 分 的 概 念 和 性 质 ,掌 握 判 断 广 义 积 分 收 敛 与 否 的 方 法 ,会计 算 一 些 简 单 的 广 义 积 分 6.掌 握 用 定 积 分 表 达 和 计 算 一 些 几 何 量 与 物 理 量 (平 面 图 形 的 面 积 、 平面 曲 线 的 弧 长 、 旋 转 体 的 体 积 及 侧 面 积 、 平 行 截 面 面 积 为 已 知 的 立 体体 积 、 功 、 引 力 、 压 力 、 质 心 、 形 心 等 )及 函 数 的 平 均 值 六 、 无 穷 级 数考 试 内 容 :1.常 数 项 级 数 : 收 敛 与 发 散 的 概 念 ,收 敛 级 数 的 和 的 概 念 ,级 数 的 基 本性 质 与 收 敛 的 必 要 条 件 ,几 何 级 数 与 p级 数 及 其 收 敛 性 ,正 项 级 数 收 敛性 的 判 别 法 ,交 错 级 数 与 莱 布 尼 茨 定 理 ,任 意 项 级 数 的 绝 对 收 敛 与 条 件收 敛 .2.函 数 项 级 数 : 收 敛 域 、 和 函 数 、 一 致 收 敛 概 念 ,函 数 项 级 数 的 一 致 收敛 判 别 法 、 和 函 数 的 分 析 性 质 (连 续 性 、 可 微 性 和 可 积 性 ; 逐 项 求 极 限 、求 微 分 和 逐 项 求 积 分 ).新祥旭考研辅导咨询VX:150102471083.幂 级 数 : 幂 级 数 及 其 收 敛 半 径 、 收 敛 区 间 ( 指 开 区 间 ) 和 收 敛 域 ,幂 级 数 的 和 函 数 ,幂 级 数 在 其 收 敛 区 间 内 的 基 本 性 质 ,简 单 幂 级 数 的 和函 数 的 求 法 ,初 等 函 数 的 幂 级 数 展 开 式 .4.三 角 级 数 与 函 数 的 傅 里 叶 ( Fourier) 级 数 : 2 -周 期 函 数 的 傅 里 叶系 数 与 傅 里 叶 级 数 ,黎 曼 引 理 ,贝 塞 尔 不 等 式 ,傅 里 叶 级 数 收 敛 的 迪 尼(Dini)判 别 法 、 狄 利 克 雷 (Dirichlet)判 别 法 ,傅 里 叶 级 数 的 收 敛 定理 ,2l(l0)-周 期 函 数 函 数 的 傅 里 叶 级 数 ,正 弦 级 数 和 余 弦 级 数 .考 试 要 求 :1.理 解 常 数 项 级 数 收 敛 、 发 散 以 及 收 敛 级 数 的 和 的 概 念 ,掌 握 级 数 的 基本 性 质 及 收 敛 的 必 要 条 件 .2.掌 握 几 何 级 数 与 p级 数 的 收 敛 与 发 散 的 条 件 .3.掌 握 正 项 级 数 收 敛 性 的 柯 西 判 别 准 则 、 比 较 判 别 法 、 比 值 判 别 法 、根 值 判 别 法 、 拉 比 (Raabe)判 别 法 、 积 分 判 别 法 等 .4.掌 握 交 错 级 数 的 莱 布 尼 茨 判 别 法 .5.掌 握 任 意 项 级 数 绝 对 收 敛 与 条 件 收 敛 的 概 念 、 绝 对 收 敛 与 收 敛 的 关系 和 绝 对 收 敛 级 数 的 乘 积 .6.掌 握 狄 利 克 雷 判 别 法 和 阿 贝 尔 判 别 法 .新祥旭考研辅导咨询VX:150102471087.理 解 函 数 项 级 数 的 收 敛 域 、 和 函 数 的 概 念 及 性 质 .8.掌 握 判 别 函 数 列 及 函 数 项 级 数 一 致 收 敛 与 否 的 方 法 (柯 西 准 则 、 优 级数 判 别 法 、 狄 利 克 雷 判 别 法 、 阿 贝 尔 判 别 法 和 迪 尼 判 别 法 等 ),掌 握 函数 项 级 数 的 和 函 数 的 分 析 性 质 .9.理 解 幂 级 数 收 敛 半 径 的 概 念 、 并 掌 握 幂 级 数 的 收 敛 半 径 、 收 敛 区 间及 收 敛 域 的 求 法 .10 理 解 幂 级 数 在 其 收 敛 区 间 内 的 基 本 性 质 (和 函 数 的 连 续 性 、 逐 项 求导 和 逐 项 积 分 ),会 求 一 些 幂 级 数 在 收 敛 区 间 内 的 和 函 数 ,并 会 由 此 求出 某 些 数 项 级 数 的 和 .11.理 解 函 数 展 开 为 泰 勒 级 数 的 充 分 必 要 条 件 .12.掌 握 几 个 基 本 初 等 函 数 的 麦 克 劳 林 (Maclaurin)展 开 式 ,会 用 它 们将 一 些 简 单 函 数 间 接 展 开 成 幂 级 数 .13.理 解 正 交 函 数 系 、 傅 里 叶 系 数 及 傅 里 叶 级 数 的 概 念 .掌 握 黎 曼 引 理 ,局 部 化 定 理 ,贝 塞 尔 不 等 式 .掌 握 傅 里 叶 级 数 的 迪 尼 判 别 法 、 狄 利 克 雷判 别 法 及 收 敛 定 理 .14.会 将 定 义 在 闭 区 间 -l,l)上 的 黎 曼 可 积 函 数 延 拓 成 周 期 为 2l的 函数 并 展 开 其 傅 里 叶 级 数 ,会 将 定 义 在 0,l)上 的 函 数 展 开 为 正 弦 级 数 与余 弦 级 数 ,会 写 出 傅 里 叶 级 数 的 和 函 数 的 表 达 式 .