5、2016年-2020年考研数学三真题解析.pdf
获 得 更 多 考 研 资 料 可 关 注 公 众 号 : 掌 腾 考 研 高端定校考研精品学习平台 1 目录 2016年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题 . 2 2016年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题解析 . 6 2017年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题 . 19 2017年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题解析 . 23 2018年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题 . 36 2018年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题解析 . 39 2019年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题 . 53 2019年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题解析 . 57 2020全国硕士研究生入学统一考试数学三真题详解 . 69获 得 更 多 考 研 资 料 可 关 注 公 众 号 : 掌 腾 考 研 高端定校考研精品学习平台 2 2 01 6 年 全国 硕士 研 究生 入学 统一 考 试数 学三 真 题 一、选择题:18 小题,每小题 4 分,共 32 分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项 符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上. (1)设函数 ( ) y f x 在 ( , ) 内连续,其导数如图所示,则( ) (A)函数有 2 个极值点,曲线 ( ) y f x 有 2 个拐点. (B)函数有 2 个极值点,曲线 ( ) y f x 有 3 个拐点. (C)函数有 3 个极值点,曲线 ( ) y f x 有 1 个拐点. (D)函数有 3 个极值点,曲线 ( ) y f x 有 2 个拐点. (2)已知函数 ( , ) x e f x y x y ,则( ) (A) 0. x y f f (B) 0. x y f f (C) . x y f f f (D) . x y f f f (3)设 (i , , ) i i D T x y dxdy 3 1 2 3 ,其中 ( , ) , D x y x y 1 0 1 0 1 , ( , ) , , ( , ) , D x y x y x D x y x x y 2 2 3 0 1 0 0 1 1 ,则( ) (A) T T T 1 2 3 (B) T T T 3 1 2 (C) T T T 2 3 1 (D) T T T 2 1 3 (4)级数为 sin( ) n n k n n 1 1 1 1 , (K 为常数),则级数( ) (A)绝对收敛. (B)条件收敛. (C)发散. (D)收敛性与 K 有关. (5)设 , A B是可逆矩阵,且 A与 B相似,则下列结论错误的是(获 得 更 多 考 研 资 料 可 关 注 公 众 号 : 掌 腾 考 研 高端定校考研精品学习平台 3 (A) T A 与 T B 相似. (B) 1 A 与 1 B 相似. (C) T A A 与 T B B 相似. (D) 1 A A 与 1 B B 相似. (6)设二次型 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 1 3 ( , , ) ( ) 2 2 2 f x x x a x x x x x x x x x 的正负惯性指数分别 为1,2,则( ) (A) 1 a . (B) 2 a . (C) 2 1 a . (D) 1 a 或 2 a . (7)设 , A B为随机事件, 0 ( ) 1,0 ( ) 1, P A P B 若 ( ) 1 P A B 则下面正确的是( ) ( A) ( ) 1. P B A ( B) ( ) 0. P A B ( C) ( ) 1. P A B ( D) ( ) 1. P B A (8)设随机变量 , X Y 独立,且 (1, 2), (1, 4) X N Y N ,则 ( ) D X Y 为( ) ( A) 6 . ( B) 8 . ( C) 1 4 . ( D) 1 5 . 二、填空题:9 14 小题,每小题 4分,共 24分,请将答案写在答题纸 指定位置上. (9)已知函数 ( ) f x 满足 ( )sin lim x x f x x e 3 0 1 2 1 2 1 ,则 lim ( ) _ x f x 0 . (10)极限 lim sin sin sin _ x n n n n n n 2 0 1 1 2 2 (11)设函数 ( , ) f u v 可微, ( , ) z z x y 有方程 ( ) ( , ) x z y x f x z y 2 2 1 确定,则获 得 更 多 考 研 资 料 可 关 注 公 众 号 : 掌 腾 考 研 高端定校考研精品学习平台 4 , _ dz 0 1 (12)设 ( , ) 1, 1 1 D x y x y x ,则 2 2 D _. y x e dx dy (13)行列式 1 0 0 0 1 0 0 0 1 4 3 2 1 _. (14)设袋中有红、白、黑球各 1个,从中有放回的取球,每次取 1 个,直到三种颜色的球都 取到为止,则取球次数恰为 4的概率为 . 三、解答题:1523 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸 指定位置上.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. (15)(本题满分 10分)求极限 4 1 0 lim cos 2 2 sin . x x x x x (16)(本题满分 10分) 设某商 品的最大 需求量为 1200 件,该 商品的需 求函数 ( ) Q Q p ,需求 弹性 ( 0) 120 p p , p为单价(万元) (1)求需求函数的表达式; (2)求 100 p 万元时的边际收益,并说明其经济意义. (17)(本题满分 10分) 设函数 , 0 1 0 2 2 x dt x t x f 求 x f ,并求 x f 的最小值. (18)(本题满分 10 分)设函数 x f 连续,且满足 1 0 0 x x x e dt t f t x dt t x f , 求 . f x (19)(本题满分 10分)求 幂级数 2 2 0 1 2 1 n n x n n 的收敛域和和函数. (20)(本题满分 11 分)设矩阵 1 1 1 0 1 0 , 1 1 1 1 2 2 a A a a a a ,且方程组 A x 无 解, ()求 a的值获 得 更 多 考 研 资 料 可 关 注 公 众 号 : 掌 腾 考 研 高端定校考研精品学习平台 5 ()求方程组 T T A A x A 的通解. (21) (本题满分 11 分) 已知矩阵 0 1 1 2 3 0 0 0 0 A . ()求 99 A ; ()设 3 阶矩阵 1 2 3 ( , , ) B ,满足 2 B B A ,记 100 1 2 3 ( , , ) B ,将 1 2 3 , , 分 别表示为 1 2 3 , , 的线性组合. (22) (本题满分 11分) 设二维随机变量 ( , ) X Y 在区域 2 , 0 1, D x y x x y x 上服从均匀分布,令 1, 0, X Y U X Y (I)写出 ( , ) X Y 的概率密度; (II)问 U 与 X 是否相互独立?并说明理由; (III)求 Z U X 的分布函数 ( ) F z . (23)设总体 X 的概率密度为 其他 , 0 0 , 3 , 3 2 x x x f ,其中 , 0 为未知参数, 3 2 1 , , X X X 为来自总体 X 的简单随机样本,令 3 2 1 , , max X X X T . (1)求 T 的概率密度; (2)当 a为何值时, a T 的数学期望为获 得 更 多 考 研 资 料 可 关 注 公 众 号 : 掌 腾 考 研 高端定校考研精品学习平台 6 2 01 6 年 全国 硕士 研 究生 入学 统一 考 试数 学三 真 题解 析 一、选择题:18 小题,每小题 4 分,共 32 分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项 符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上. (1)设函数 ( ) y f x 在 ( , ) 内连续,其导数如图所示,则( ) (A)函数有 2 个极值点,曲线 ( ) y f x 有 2 个拐点. (B)函数有 2 个极值点,曲线 ( ) y f x 有 3 个拐点. (C)函数有 3 个极值点,曲线 ( ) y f x 有 1 个拐点. (D)函数有 3 个极值点,曲线 ( ) y f x 有 2 个拐点. 【答案】 (B) 【解析】 【解析】由图像易知选 B. (2)已知函数 ( , ) x e f x y x y ,则( ) (A) 0. x y f f (B) 0. x y f f (C) . x y f f f (D) . x y f f f 【答案】 (D) 【解析】 2 ( 1) x x e x y f x y 2 x y e f x y ,所以 . x y f f f (3)设 (i , , ) i i D T x y dxdy 3 1 2 3 ,其中 ( , ) , D x y x y 1 0 1 0 1 , ( , ) , , ( , ) , D x y x y x D x y x x y 2 2 3 0 1 0 0 1 1 ,则( ) (A) T T T 1 2 3 (B) T T T 3 1 2 (C) T T T 2 3 1 (D) T T T 2 1 3获 得 更 多 考 研 资 料 可 关 注 公 众 号 : 掌 腾 考 研 高端定校考研精品学习平台 7 【答案】(B) 【解析】由积分区域的性质易知选 B. (4)级数为 sin( ) n n k n n 1 1 1 1 , (K 为常数),则级数( ) (A)绝对收敛. (B)条件收敛. (C)发散. (D)收敛性与 K 有关. 【答案】(A) 【解析】由题目可得, sin( ) sin( ) sin( ) ( ) n n n n n n k n k n k n n n n n n n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 因为 sin( ) ( ) ( ) n k n n n n n n n n n n 1 1 1 1 1 1 ,由正项级数的比较判 别法得,该级数绝对收敛. (5)设 , A B是可逆矩阵,且 A与 B相似,则下列结论错误的是( ) (A) T A 与 T B 相似. (B) 1 A 与 1 B 相似. (C) T A A 与 T B B 相似. (D) 1 A A 与 1 B B 相似. 【答案】 (C) 【解析】此题是找错误的选项.由 A与 B相似可知,存在可逆矩阵 , P 使得 1 P A P B ,则 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1) ( ) ( ) , A (2) ( ) (3) ( ) , T T T T T T T T P A P B P A P B A B P A P B P A P B A B B P A A P P A P P A P B B A A B B D 故( )不选; ,故( )不选; 故( )不选; 此外,在( C)中,对于 1 1 1 ( ) T T P A A P P A P P A P ,若 1 = P A P B ,则 1 ( ) T T T T P A P B ,而 1 T P A P 未必等于 T B ,故(C)符合题意.综上可知, (C)为正确选 项获 得 更 多 考 研 资 料 可 关 注 公 众 号 : 掌 腾 考 研 高端定校考研精品学习平台 8 (6)设二次型 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 1 3 ( , , ) ( ) 2 2 2 f x x x a x x x x x x x x x 的正负惯性指数分别 为1,2,则( ) (A) 1 a . (B) 2 a . (C) 2 1 a . (D) 1 a 或 2 a . 【答案】 (C) 【解析】考虑特殊值法,当 0 a 时, 1 2 3 1 2 2 3 1 3 ( , , ) 2 2 2 f x x x x x x x x x , 其矩阵为 0 1 1 1 0 1 1 1 0 ,由此计算出特征值为 2, 1, 1 ,满足题目已知条件,故 0 a 成立, 因此(C)为正确选项. (7)设 , A B为随机事件, 0 ( ) 1,0 ( ) 1, P A P B 若 ( ) 1 P A B 则下面正确的是( ) ( A) ( ) 1. P B A ( B) ( ) 0. P A B ( C) ( ) 1. P A B ( D) ( ) 1. P B A 【答案】 (A) 【解析】根据条件得 ( ) ( ) P A B P B ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1. ( ) 1 ( ) 1 ( ) P A B P A B P A B P B A P A P A P A (8)设随机变量 , X Y 独立,且 (1, 2), (1, 4) X N Y N ,则 ( ) D X Y 为( ) ( A) 6 . ( B) 8 . ( C) 1 4 . ( D) 1 5 . 【答案】 (C) 【解析】因为 , X Y 独立获 得 更 多 考 研 资 料 可 关 注 公 众 号 : 掌 腾 考 研 高端定校考研精品学习平台 9 则 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) D X Y E X Y E X Y E X E Y E X E Y 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 14. D X E X D Y E Y E X E Y 二、填空题:9 14 小题,每小题 4分,共 24分,请将答案写在答题纸 指定位置上. (9)已知函数 ( ) f x 满足 ( )sin lim x x f x x e 3 0 1 2 1 2 1 ,则 lim ( ) _ x f x 0 . 【答案】6 【解析】 因为 ( )sin ( )sin ( ) ( ) lim lim lim lim x x x x x f x x f x x f x x f x e x x 3 0 0 0 0 1 2 1 2 1 2 2 1 3 3 3 所以 lim ( ) x f x 0 6. (10)极限 lim sin sin sin _ x n n n n n n 2 0 1 1 2 2 【答案】 sin cos 1 1 【 解 析 】 lim sin sin sin lim sin sin sin cos n x x i n i i n x xdx n n n n n n n 1 2 0 0 0 1 1 1 2 1 2 1 1 . (11)设函数 ( , ) f u v 可微, ( , ) z z x y 有方程 ( ) ( , ) x z y x f x z y 2 2 1 确定,则 , _ dz 0 1 【答案】 , dz dx dy 0 1 2 【解析】 ( ) ( , ) x x y x f x z y 2 2 1 两边分别关于 , x y求导得 ( ) ( , ) ( , )( ) ( ) ( ( , )( ) ( , ) x x y y z x z xf x z y x f x z y z x z y x f x z y z f x z y 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 ,将 , , x y z 0 1 1 代入得, , dz dx dy 0 1 2 . (12)设 ( , ) 1, 1 1 D x y x y x ,则 2 2 D _. y x e dx dy 【答案】 1 1 2 3 e获 得 更 多 考 研 资 料 可 关 注 公 众 号 : 掌 腾 考 研 高端定校考研精品学习平台 1 0 【解析】 x y 考查二重积分的计算,先对 积分,后对 积分.得出 1 1 2 3 e . (13)行列式 1 0 0 0 1 0 0 0 1 4 3 2 1 _. 【答案】 4 3 2 2 3 4 【 解 析 】 4 1 4 3 2 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 = 0 1 +4 1 1 0 + +2 +3 +4. 0 0 1 3 2 +1 0 1 4 3 2 +1 (- ) (14)设袋中有红、白、黑球各 1个,从中有放回的取球,每次取 1 个,直到三种颜色的球都 取到为止,则取球次数恰为 4的概率为 . 【答案】 2 9 【解析】 2 2 1 3 3 1 1 1 2 ( ) 2 . 3 3 3 9 P A C C 三、解答题:1523 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸 指定位置上.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. (15)(本题满分 10分)求极限 4 1 0 lim cos 2 2 sin . x x x x x 【解析】 4 1 0 lim cos 2 2 sin x x x x x 4 cos2 2 sin 1 0 lim x x x x x e 2 4 4 3 4 4 4 2 1 2 1 ( ) 2 4! 3! 0 lim x x x x x x x x e o 1 3 . e (16)(本题满分 10分) 设某商 品的最大 需求量为 1200 件,该 商品的需 求函数 ( ) Q Q p ,需求 弹性获 得 更 多 考 研 资 料 可 关 注 公 众 号 : 掌 腾 考 研 高端定校考研精品学习平台 1 1 ( 0) 120 p p , p为单价(万元) (1)求需求函数的表达式; (2)求 100 p 万元时的边际收益,并说明其经济意义. 【解析】 (1)由弹性的计算公式得 p dQ Q dp 可知 p d Q Q d p 120 p p 分离变量可知 120 d Q d p Q p 两边同时积分可得 ln ln( 120) Q p C 解得 ( 120) Q C p 由最大需求量为 1200可知 (0) 1200 Q ,解得 10 C 故 10( 120) 1200 10 Q p p (2)收益 (1200 10 ) R Q p P P 边际收益: (1200 20 )( 10) 200 12000 d R d R d p p p d Q d p d Q 已知 100 8000 p d R d Q 经济学意义是需求量每提高 1件,收益增加 8000万元. (17)(本题满分 10分) 设函数 , 0 1 0 2 2 x dt x t x f 求 x f ,并求 x f 的最小值. 【解析】当 0 1 x 时, 1 2 2 2 2 3 2 0 4 1 3 3 x x f x x t dt t x dt x x 当 1 x 时, 3 1 2 1 0 2 2 x dt t x x f获 得 更 多 考 研 资 料 可 关 注 公 众 号 : 掌 腾 考 研 高端定校考研精品学习平台 1 2 则 3 2 2 4 1 0 1 3 3 1 1 3 x x x f x x x 2 4 2 0 1 2 1 x x x f x x x 由导数的定义可知, 1 2 f 故 2 4 2 0 1 2 1 x x x f x x x 可知 x f 的最小值为 1 1 . 2 4 f (18)(本题满分 10 分)设函数 x f 连续,且满足 1 0 0 x x x e dt t f t x dt t x f , 求 . f x 【解析】令 t x u ,则 x x x du u f du u f dt t x f 0 0 0 代入方程可得 1 0 0 0 x x x x e dt t t f dt t f x du u f 两边同时求导可得 1 0 x x e dt t f x f 由于 x f 连续,可知 dt t f x 0 可导,从而 x f 也可导. 故对上式两边再求导可得 x e x f x f 在(1)式两边令 0 x 可得 1 0 f 解此微分方程可得 3 . 2 2 x x e f x e获 得 更 多 考 研 资 料 可 关 注 公 众 号 : 掌 腾 考 研 高端定校考研精品学习平台 1 3 (19)(本题满分 10分)求 幂级数 2 2 0 1 2 1 n n x n n 的收敛域和和函数. 【解析】令 2 2 0 ( ) 1 2 1 n n x S x n n 两边同时求导得 2 1 0 ( ) 2 2 1 n n x S x n 两边同时求导得 2 2 0 2 ( ) 2 1 n n S x x x 两边积分可得 1 ( ) ln 1 x S x C x 由 (0) 0 S 可知, 1 ( ) ln ln(1 ) ln(1 ) 1 x S x x x x 两边再积分可知 ( ) (1 )ln(1 ) (1 )ln(1 ) S x x x x x 易知, 2 2 0 ( ) 1 2 1 n n x S x n n 的收敛半径为 1, 且当 1, 1 x x 时级数收敛,可知幂级数的收敛域为-1,1 因此, ( ) (1 )ln(1 ) (1 )ln(1 ) S x x x x x , x -1,1. (20)(本题满分 11 分)设矩阵 1 1 1 0 1 0 , 1 1 1 1 2 2 a A a a a a ,且方程组 A x 无 解, ()求 a的值; ()求方程组 T T A A x A 的通解. 【解析】 ( ) 由 方 程 组 A x 无 解 , 可 知 ( ) ( , ) r A r A , 故 这 里 有 0 A获 得 更 多 考 研 资 料 可 关 注 公 众 号 : 掌 腾 考 研 高端定校考研精品学习平台 1 4 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 a A a a a a 或 2 a .由于当 0 a 时, ( ) ( , ) r A r A ,而当 2 a 时, ( ) ( , ) r A r A .综上,故 0 a 符合题目. ()当 0 a 时, 3 2 2 1 2 2 2 , 2 2 2 2 2 T T A A A ,故 3 2 2 1 1 0 0 1 ( , ) 2 2 2 2 0 1 1 2 2 2 2 2 0 0 0 0 T T A A A , 因此,方程组 T T A A x A 的通解为 0 1 1 2 1 0 x k ,其中 k 为任意实数. (21) (本题满分 11 分) 已知矩阵 0 1 1 2 3 0 0 0 0 A . ()求 99 A ; ()设 3 阶矩阵 1 2 3 ( , , ) B ,满足 2 B B A ,记 100 1 2 3 ( , , ) B ,将 1 2 3 , , 分 别表示为 1 2 3 , , 的线性组合. 【解析】 ()利用相似对角化. 由 0 E A ,可得 A的特征值为 1 2 3 0, 1, 2 ,故 0 1 2 A . 当 1 0 时,由 (0 ) 0 E A x ,解出此时 A的属于特征值 1 0 的特征向量为 1 3 2 2 ; 当 2 1 时,由 ( ) 0 E A x ,解出此时 A 的属于特征值 2 1 的特征向量为获 得 更 多 考 研 资 料 可 关 注 公 众 号 : 掌 腾 考 研 高端定校考研精品学习平台 1 5 2 1 1 0 ; 当 3 2 时,由 ( 2 ) 0 E A x ,解出此时 A 的属于特征值 3 2 的特征向量为 3 1 2 0 . 设 1 2 3 3 1 1 ( , , ) 2 1 2 2 0 0 P , 由 1 0 1 2 P A P 可 得 1 A P P , 99 99 1 A P P , 对于 3 1 1 2 1 2 2 0 0 P ,利用初等变换,可求出 1 1 0 0 2 2 1 2 1 1 1 2 P ,故 99 99 98 99 99 1 100 100 99 99 1 0 0 3 1 1 0 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 0 0 2 1 0 0 0 1 1 2 A P P ( ) 2 3 2 2 100 99 B B A B B B A B A B A A B A B B A , 由 于 1 2 3 ( , , ) B , 100 1 2 3 ( , , ) B , 故 99 99 98 99 100 100 99 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 2 1 2 2 2 ( , , ) ( , , ) ( , , ) 2 2 1 2 2 2 0 0 0 A ,因此, 99 100 99 100 98 99 1 1 2 2 1 2 3 1 2 ( 2 2 ) ( 2 2 ) , (1 2 ) (1 2 ) , (2 2 ) (2 2 ) .获 得 更 多 考 研 资 料 可 关 注 公 众 号 : 掌 腾 考 研 高端定校考研精品学习平台 1 6 (22) (本题满分 11分) 设二维随机变量 ( , ) X Y 在区域 2 , 0 1, D x y x x y x 上服从均匀分布,令 1, 0, X Y U X Y (I)写出 ( , ) X Y 的概率密度; (II)问 U 与 X 是否相互独立?并说明理由; (III)求 Z U X 的分布函数 ( ) F z . 【答案】 (I) 2 3,0 1, , 0, x x y x f x y 其他 (II) U 与 X 不独立,因为 1 1 1 1 , 2 2 2 2 P U X P U P X ; (III) Z 的分布函数 2 3 3 2 2 0, 0 3 , 1 2 ( ) 1 3 2 1 1 ,1 2 2 2 1, 2 Z z z z z F z z z z z 0 【解析】 (1)区域 D 的面积 3 1 ) ( ) ( 2 1 0 x x D s ,因为 ) , ( y x f 服从区域 D 上的均匀分 布,所以 2 3 ( , ) . 0 x y x f x y 其他 (2)X 与 U 不独立. 因为 1 1 1 1 1 , = =0, = , 2 2 2 2 4 P U X P U X P X Y X 1 1 1 2 1 , . 2 2 2 2 8 P U P X 所以 1 1 1 1 , 2 2 2 2 P U X P U P X ,故 X 与 U 不独立获 得 更 多 考 研 资 料 可 关 注 公 众 号 : 掌 腾 考 研 高端定校考研精品学习平台 1 7 (3) ( ) 0 0 1 1 F z P U X z P U X z U P U P U X z U P U , 0 1 , 1 0 1 0 1 P X z U P X z U P U P U P U P U , 1 , P X z X Y P X z X Y 又 2 3 0, 0 3 , , 0 1 2 1 , 1 2 z P X z X Y z z z z , 3 2 2 0, 1 3 1 , 2( 1 ) ( 1 ) , 1 2 2 1 , 2 2 z P X z X Y z z z z 所以 2 3 3 2 2 0, 0 3 , 0 1 2 ( ) . 1 3 2( 1) ( 1) , 1 2 2 2 1, 2 Z z z z z F z z z z z (23)设总体 X 的概率密度为 其他 , 0 0 , 3 , 3 2 x x x f ,其中 , 0 为未知参数, 3 2 1 , , X X X 为来自总体 X 的简单随机样本,令 3 2 1 , , max X X X T . (1)求 T 的概率密度; (2)当 a为何值时, a T 的数学期望为 . 【解析】 (1)根据题意, 1 2 3 , , X X X 独立同分布, T 的分布函数为 1 2 3 1 2 3 ( ) max( , , ) , , T F t P X X X t P X t X t X t获 得 更 多 考 研 资 料 可 关 注 公 众 号 : 掌 腾 考 研 高端定校考研精品学习平台 1 8 3 1 2 3 1 P X t P X t P X t P X t 当 0 t 时, ( ) 0 T F t ; 当 0 t 时, 3 2 9 3 9 0 3 ( ) t T x t F t d x ; 当 0 t 时, ( ) 1 T F t , 所以 8 9 9 , 0 ( ) 0, T t t f t 其他 . (2) 8 9 0 9 9 ( ) 10 t E aT aE T a t dt a , 根据题意, 9 ( ) 10 E a T a ,即 10 . 9 a获 得 更 多 考 研 资 料 可 关 注 公 众 号 : 掌 腾 考 研 高端定校考研精品学习平台 1 9 2017 年 全国 硕士 研 究生 入学 统一 考 试数 学三 真 题 一、选择题:18 小题,每小题 4 分,共 32 分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项 符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上. (1)若函数 1 cos , 0 ( ) , 0 x x f x ax b x 在 0 x 处连续,则( ) (A) 1 2 ab (B) 1 2 ab (C) 0 ab (D) 2 a b (2)二元函数 (3 ) z x y x y 的极值点是( ) (A) ( ,0) a (B) (0,3) (C) (0,3) (D) (1,1) (3)设函数 ( ) f x 可导,且 ( ) ( ) 0 f x f x ,则( ) (A) (1) ( 1) f f (B) (1) ( 1) f f (C) (1) ( 1) f f (D) (1) ( 1) f f (4)设函数 2 1 1 sin ln(1 ) n k n n 收敛,则 k ( ) (A)1 (B)2 (C)-1 (D)-2 (5)设 是 n维单位列向量, E为 n阶单位矩阵,则( ) ( A) T E 不可逆 ( B ) T E 不可逆 ( C) 2 T E 不可逆 ( D) 2 T E 不可逆 (6)设矩阵 2 0 0 2 1 0 1 0 0 0 2 1 , 0 2 0 , 0 2 0 0 0 1 0 0 1 0 0 2 A B C ,则( ) (A) , A C B C 与 相似 与 相似 (B) , A C B C 与 相似 与 不相似 (C) , A C B C 与 不相似 与 相似 (D) , A C B C 与 不相似 与 不相似 (7)设 , , A B C 为三个随机事件,且 A C 与 相互独立, C B与 相互独立,则 A B 与 C 相获 得 更 多 考 研 资 料 可 关 注 公 众 号 : 掌 腾 考 研 高端定校考研精品学习平台 2 0 互独立的充要条件是( ) (8)设 1 2 , ( 2) n X X X n 为来自总体 ( ,1) N 的简单随机样本,记 1 1 n i i X X n ,则下 列结论中不正确的是( ) (A) 2 2 1 ( ) n i i X 服从 分布 (B) 2 2 1 2( ) n X X 服从 分布 (C) 2 2 1 ( ) n i i X X 服从 分布 (D) 2 2 ( ) n X 服从 分布 二、填空题:9 14 小题,每小题 4分,共 24分,请将答案写在答题纸指定位置上. (9) 3 2 2 (sin ) _ x x dx (10) 差分方程 1 2 2 t t t y y 的通解为 _ t y (11) 设生产毛产品的平均成本 ( ) 1 Q C Q e ,其中 Q为产量,则边际成本为 (12) 设 函 数 ( , ) f x y 具 有 一 阶 连 续 偏 导 数 , 且 ( , ) (1 ) y y df x y y e dx x y e dy , (0, 0) 0 f ,则 ( , ) _ f x y ( 13)设矩阵 1 0 1 1 1 2 0 1 1 A , 1 2 3 , , 为线性无关的 3 维列向量组,则向量组 1 2 3 , , A A A 的秩为_ ( 14)设随机变量 X 的概率分布为 1 2 , 1 , 3 , 2 P X P X a P X b 若 0 E X ,则 _ D X 三、解答题:1523 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. (15) (本题满分 10分) (本题满分 10 分)求极限 0 3 0 lim x t x x t e dt x获 得 更 多 考 研 资 料 可 关 注 公 众 号 : 掌 腾 考 研 高端定校考研精品学习平台 2 1 (16) (本题满分 10 分)计算积分 3 2 4 2 (1 ) D y d x d y x y ,其中 D 是第一象限中以曲线 y x 与 x轴为边界的无界区域。 (17) (本题满分 10分) 求 2 1 lim ln 1 n n k k k n n (18) (本题满分 10分) 已知方程 1 1 ln(1 ) k x x 在区间 (0,1)内有实根,确定常数 k 的取值范围 (19) (本题满分 10分)设 0 1 1 1 1 1, 0, ( ),( 1,2, ), ( ) 1 n n n a a a na a n S x n 为幂级 数 0 n n n a x 的和函数 (I)证明幂级数 0 n n n a x 的收敛半径不小于 1; (II)证明 (1 ) ( ) ( ) 0,( ( 1,1) x S x x S x x ,并求 ( ) S x 的表达式 (20) (本题满分 11分) 设三阶矩阵 1 2 3 ( , , ) A 有 3 个不同的特征值, 且 3 1 2 2 , (I)证明: ( ) 2 r A ; (II)若 1 2 3 ,求方程组 A x 的通解。 (21) (本题满分 11 分)设二次型 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 ( , , ) 2 2 8 2 f x x x x x ax x x x x x x 在 正交变换 x Q y 下的标准形为 2 2 1 1 2 2 y y ,求 a的值及正交矩阵 Q ( 22 )( 本 题 满 分 11 分 ) 设 随 机 变 量 , X Y 相 互 独 立 , 且 X 的 概 率 分 布 为 1 0 2 2 P X P X , Y 的概率密度为 2 ,0 1 ( ) 0, y y f y 其他 , (I)求 P Y E Y ; (II)求 Z X Y 的概率密度获 得 更 多 考 研 资 料 可 关 注 公 众 号 : 掌 腾 考 研 高端定校考研精品学习平台 2 2 (23) (本题满分 11分) 某工程师为了解一台天平的精度, 用该天平对一物体进行 n次测量, 该物体的质量是已知的。设 n次测量的结果 1 , , n X X 相互独立且服从正态分布 2 ( , ) N , 该工程师记录的是 n次测量的绝对误差 i i Z X ,利用 1 , , n Z Z 估计 (I)求 i Z 的概率密度; (II)利用一阶矩求 的矩估计量; (III)求 的最大似然估计量获 得 更 多 考 研 资 料 可 关 注 公 众 号 : 掌 腾 考 研 高端定校考研精品学习平台 2 3 2017 年 全国 硕士 研 究生 入学 统一 考 试数 学三 真 题 解 析 一、选择题:18 小题,每小题 4 分,共 32 分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项 符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上. (1)若函数 1 cos , 0 ( ) , 0 x x f x ax b x 在 0 x 处连续,则( ) (A) 1 2 ab (B) 1 2 ab (C) 0 ab (D) 2 a b 【答案】A. 【解析】 0 0 1 1 cos 1 2 lim lim , ( ) 2 x x x x f x ax