2020年中国科学院大学硕士研究生考试真题之概率论与数理统计.pdf
中 国 科 学 院 大 学2020 年 招 收 攻 读 硕 士 学 位 研 究 生 入 学 统 一 考 试 试 题科 目 名 称 : 概 率 论 与 数 理 统 计考 生 须 知 :1 本 试 卷 满 分 为 150分 , 全 部 考 试 时 间 总 计 180分 钟 。2 所 有 答 案 必 须 写 在 答 题 纸 上 , 写 在 试 题 纸 上 或 草 稿 纸 上 一 律 无 效 。本 试 卷 可 能 用 到 的 常 数 : 分 别 以 ( )Z , 2( )n 表 示 标 准 正 态 分 布 、 卡 方 分 布 的 上 分 位 数 , (0.005) 2.57Z , (0.01) 2.33Z , (0.025) 1.96Z , (0.05) 1.65Z , 20.05(7) 14.067 , 20.05(8) 15.507 , 20.05(8) 16.919 。1. (20 分 ) 设 有 n 个 事 件 1, , nA A , 其 概 率 分 别 为 1, , np p , 设 0 1ip ,1, ,i n .(1) 试 用 数 学 归 纳 法 证 明 : 11n ni iiiP A p ;(2) 设 n个 事 件 1, , nA A 独 立 , 记 1 np p p . 证 明 : 事 件 “ 1, , nA A 都 不 发生 ” 的 概 率 小 于 pe 。2. (10分 ) 一 个 均 匀 骰 子 有 两 面 涂 成 白 色 , 有 四 面 涂 成 黑 色 。 抛 掷 这 个 骰 子 直 至首 次 出 现 白 色 为 止 。 试 问 : 游 戏 至 少 持 续 四 次 或 更 多 次 数 的 概 率 是 多 少 ?科 目 名 称 : 概 率 论 与 数 理 统 计 第 1页 共 3页 3. (15分 )小 王 外 出 可 以 乘 坐 飞 机 、 高 铁 、 轮 船 、 汽 车 四 种 交 通 工 具 , 其 概 率 分别 为 5%、 15%、 30%、 50%, 乘 坐 几 种 交 通 工 具 如 期 到 达 的 概 率 依 次 为 90%、 90%、70%、 60%。(1) 求 小 王 如 期 到 达 的 概 率 ;(2) 已 知 小 王 误 期 到 达 , 求 他 乘 坐 高 铁 的 概 率 。4. (10 分 ) 设 随 机 变 量 X 的 概 率 密 度 为 22 , 0( ) 0,x xf x 其 他 , 定 义 随 机 变 量sinY X 。 求 Y 的 概 率 密 度 ( ) Yf y 。5. (15 分 ) 设 随 机 变 量 X 与 Y 相 互 独 立 且 均 服 从 指 数 分 布 , 其 密 度 函 数 为( ) 0, 0 x xef x , 其 他 。 X Y 和 XY 是 否 独 立 ? 说 明 理 由 或 给 出 证 明 。6. (15分 ) 设 随 机 向 量 ( , )X Y 有 概 率 密 度 函 数 2 22 2 , 11( , ) 0,c x yx yf x y 其 他 。 (1) 求 常 数 c以 及 X 的 边 缘 概 率 密 度 ;(2) 求 给 定 12X 时 , Y 的 条 件 概 率 密 度 。7. (10分 ) 设 二 维 随 机 向 量 ( , )X Y 服 从 均 值 为 0,0 , 协 方 差 阵 为 1 1 的 二 维正 态 分 布 。 求 max ,E X Y 。科 目 名 称 : 概 率 论 与 数 理 统 计 第 2页 共 3页 8. (15分 )计 算 器 在 进 行 加 法 时 , 将 每 个 加 数 舍 入 最 靠 近 它 的 整 数 后 再 进 行 加 法 ,假 设 所 有 舍 入 误 差 独 立 且 服 从 ( 0.5,0.5) 上 均 匀 分 布 (可 以 认 为 误 差 足 够 多 )。 试问 : 最 多 可 以 有 多 少 个 数 相 加 , 能 使 得 误 差 总 和 的 绝 对 值 小 于 10的 概 率 不 小 于0.9?9. (20分 ) 设 总 体 X服 从 均 匀 分 布 ,2 , 0,U 未 知 , 1, , nX X 为 取 自 总 体X的 独 立 同 分 布 样 本 。(1) 求 的 矩 估 计 1 和 极 大 似 然 估 计 2 ;(2) 判 断 1 和 2 是 否 为 无 偏 估 计 量 。10.(10分 ) 若 两 种 固 体 燃 料 的 燃 烧 率 均 服 从 正 态 分 布 , 均 值 分 别 为 1 2, , 并 且已 知 燃 烧 率 的 标 准 差 均 近 似 地 为 1 2= =0.05 /cm s , 取 样 本 容 量 为 1 2 20n n ,得 两 种 燃 烧 率 的 样 本 均 值 分 别 为 1 18 /x cm s , 2 24 /x cm s 。 设 所 有 样 本 独 立 ,求 两 燃 烧 率 总 体 均 值 差 1 2 的 置 信 水 平 为 0.99的 置 信 区 间 。11.(10分 ) 要 求 某 种 导 线 电 阻 的 标 准 差 不 得 超 过 0.005, 今 在 生 产 的 一 批 导 线中 取 样 品 9根 , 测 得 其 标 准 差 0.007s 。 设 总 体 为 正 态 分 布 , 参 数 均 未 知 。 问在 显 著 性 水 平 0.05 下 , 能 否 认 为 这 批 导 线 的 标 准 差 显 著 地 偏 大 ? 科 目 名 称 : 概 率 论 与 数 理 统 计 第 3页 共 3页