2020年中国科学院大学硕士研究生考试真题之高等数学(丙).pdf
中国科学院大学 2020年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 科目名称:高等数学(丙) 考生须知: 1本试卷满分为150分,全部考试时间总计180 分钟。 2所有答案必须写在答题纸上,写在试题纸上或草稿纸上一律无效。 一、选择题 (本题满分 60 分,每小题 6 分。请从题目所列的选项中选择一个正确项填充空 格。每题的四个备选项中只有一个是正确的,不选、错选或多选均不得分。请将你的选择标 清题号写在考场发的答题纸上,直接填写在试题上无效。) 1. 已知函数 () f x 在 0 x 处连续,且 2 2 0 () lim 1 h fh h ,则下列说法正确的是( ) 。 A (0) 0 f 且 (0) f 存在 B (0) 1 f 且 (0) f 存在 C (0) 0 f 且 (0) f 存在 D (0) 1 f 且 (0) f 存在 2. 计算 3 0 1t a n 1s i n lim x x x x =( ) 。 A0 B. 1 2 C. 1 3 D. 1 4 3. 二元函数 (,) f xy在点 (0,0)处可微的一个充分条件是( ) 。 A (,)( 0 , 0 ) lim ( , ) (0, 0) 0 xy fxy f . B 0 (, 0 ) ( 0 , 0 ) lim 0 x fx f x ,且 0 (0, ) (0,0) lim 0 y fyf y . C 22 (,)( 0 , 0 ) (,) ( 0 , 0 ) lim 0 xy fxy f xy . D 0 lim ( ,0) (0,0) 0 xx x fx f ,且 0 lim (0, ) (0, 0) 0 yy y fyf . 4. 已知D是以c为半径,坐标原点为圆心的圆,则 D xydxdy 的值为( ) 。 A0 B. 2 2 c C. 4 2 c D. 4 4 c 科目名称:高等数学(丙) 第1页 共4页5. 设方程 xy x yze ,则 22 22 zz x y 的表达式是( ) 。 A 22 () e xy xy B() e xy xy C2e xy xy D (1 ) e xy xy 6. 设 0 3 a , 1 5 a , 且对任何自然数 1 n 有 11 2 (1 ) 3 nn n na a n a , 则幂级数 0 n n n ax 的收敛半径为( ) 。 A1 B 2 3 C 3 2 D2 7. 若反常积分 0 1 1 b a dx xx 收敛,则( ) 。 A 1 a 且 1 b B. 1 a 且 1 b C. 1 a 且 1 ab D. 1 a 且 1 ab 8. 根据行列式的定义, 21 2 111 () 32 1 111 xx x fx x x 中 3 x 的系数为( ) 。 A. 2 B. 1 C. -2 D. -1 9. 设A、B是 3阶方阵,且 4 A , 3 B ,则 2 3 T A B 的值为( ) 。 A108 B. 27 4 C. 972 D. 324 10. 设 T =(1 0 -1),矩阵 T A = ,n为正整数, n aI A | 为( ) 。 A 2 2 n aa ( ) B. 2 a C. 2 n a D. 2 2 n a 2() 二、 (本题满分 10分)求矩阵 11 24 A (1)特征值、特征向量; (2)并判定所对应的特征向量是否正交? 科目名称:高等数学(丙) 第2页 共4页三 (本题满分 10分) 已知三阶方阵 33 33 (), () ij ij AaBb ,计算下式: (1) * T AA ,其中 * A 是A的伴随矩阵, T A 是A的转置矩阵。若 11 12 13 , aaa 为三个相等 的正数,求 13 a 。 (2)若矩阵 , A B等价,|0 A ,求| B 。 四、 (本题满分 10分)有线性方程组: 12345 12345 2345 12345 1 32 3 2263 5433 xxxxx x xxxxa xxxx x xxxxb (1) , ab取何值时方程组无解? (2) , ab取何值时方程组有解,并写出其全部解。 五、 (本题满分 10分) 已知向量组 12345 11522 21010 , 331 565 011 054 (1) 求向量组的秩和一个极大线性无关组; (2) 把不属于极大线性无关组的向量用极大线性无关组线性表示。 六、 (本题满分 10 分)设曲线 () yfx 与 2 yxx 在点(1,0)处有公共切线,计算 lim ( ) 2 n n nf n 。 七、 (本题满分10 分)设数列 n a 有界,且满足条件: 2 nn aa , 3 nn aa ,nN 。证 明数列 n a 收敛。 八、 (本题满分 10 分) 求由曲线 3cos r 与曲线 1c o s r 所围图形的公共部分的面 积。 科目名称:高等数学(丙) 第3页 共4页九、 (本题满分 10 分)已知函数 () u f r 且 222 ln rxyz 满足方程 222 2223 2 222 (+) uuu xyz xyz ,求 () f x 的表达式。 十、 (本题满分 10 分)设函数 () f x 在区间, ab上具有连续导数, () () 0 fa fb 且有 2 () 1 b a f xdx 。请证明:不等式 22 2 1 () () 4 bb aa f xd xxfxd x 。 科目名称:高等数学(丙) 第4页 共4页