东华理工大学 2017 年硕士生入学考试初试试题高等代数.docx
( )n n=a, B)1(注意:答案请做在答题纸上,做在试卷上无效东华理工大学 2017 年硕士生入学考试初试试题科目代码: 818;科目名称:高等代数;( A 卷)适用专业(领域)名称: 070100 数学一、(本题 15 分)求满足下列性质的次数最低的多项式f (x) :x2 +1| f (x), x3 + x2 +1| f (x) +1.二、(本题 15 分)设a 为实数,证明:多项式f (x) = xn + axn-1 + . + an-1 x + an最多有一个实根。三、(本题 20 分)(1)设A=ijnn,证明:|A+xB|=|A|+rxnn,x ,其中r = i=1 j =1Aij,Aij是代数余子式.(2)利用(1)的结论计算下列行列式的值:Dn=xaa-axa-a -axMMM-a -a -a-a -a -a.aaaaaaMMxa-ax四、(本题 15 分)设A= -1200 1-200 003-100-62 ,计算 A2017 .五、(本题 15 分)设 f (x) Zx ,Z 表示整数集合,若有整数a ,使得f (a) = f (a +1) = f (a + 2) = 1证明:对于任何整数c , f (c) -1 .A 卷第 1 页,共 2 页注意:答案请做在答题纸上,做在试卷上无效六、(本题 20 分)设 n 阶方阵 A, B, C 满足C = AB - BA ,且C 与 A, B 可交换,证明:C 是幂零阵.七、(本题 15 分)设 A 是 4 阶幂零矩阵,且 A 的秩 R( A) = 3 ,试求 A 与 A2 的 Jordan 标准形.八、(本题 20 分)设 A 是 复 数 域 上 的 n 阶 方 阵 , f (x) Cx , g(x) 是 A 的 最 小 多 项 式 ,( f (x), g(x) = d (x) ,证明:(1) R(d ( A) = R( f ( A) ,其中 R 是秩.(2) f ( A) 可逆 ( f (x), g(x) =1 .九、(本题 15 分)设a,b,g是 3 维线性空间V 的一组基,线性变换j满足:j(a+ 2b+g) =aj(3b+ 4g) = bj(4b+ 5g) =g求j在基a,2b+g,g下的矩阵.A 卷第 2 页,共 2 页