山东科技大学2019年硕士研究生自命题试题712.pdf
一 、 求 下 列 极 限 ( 本 题 1 6 分 )1 、 38 1 3lim 2x x x ; 2 、 lim( 2 2 1 )n n n n 二 、 求 导 数 和 高 阶 导 数 ( 本 题 1 6 分 )1 、 已 知 2 2arctan lny x yx 求 dydx ; 2 、 已 知 31xy x , 求 ( )ny ( 2n )三 、 证 明 题 ( 本 题 1 0 分 )设 ( )f x 在 区 间 , a b 上 存 在 二 阶 连 续 导 数 , ( ) 0f a , ( ) ( ) 0f a f b ,证 明 : 必 存 在 ( , )a b 使 得 ( ) 0f 。四 、 计 算 积 分 ( 本 题 1 8 分 )1 、 ( 1 0 分 ) 设 tan ( 2)nnI xdx n 。 ( 1 ) 给 出 nI 的 递 推 公 式 ;( 2 ) 计 算 77 tanI xdx ; 2 、 ( 8 分 ) 计 算 40 sin2sin2 cos2xI dxx x 。五 、 应 用 题 ( 本 题 1 5 分 )求 悬 链 线 2x xe ey 从 0 x 到 0 x a 那 段 的 弧 长 以 及 该 段 弧 绕 x轴旋 转 所 得 旋 转 曲 面 的 面 积 。六 、 解 答 题 (本 题 20 分 )1.( 10 分 ) 已 知 na n 112 , 12 1nnn dxxa , 求 证 : 1 1n nn a 条 件 收敛 。2. ( 10 分 ) 设 ( ) lnn xf x x nn , 2,3,n L , 当 为 何 值 时 函 数 列 ( )nf x 在 0, ) 上 一 致 收 敛 。七 、 多 元 函 数 的 连 续 性 与 可 微 性 (本 题 15分 )讨 论 22 2 , ( , ) (0,0),( , ) 0, ( , ) (0,0)xy x yf x y x y x y 在 ( 0,0) 点 ( 1 ) 连 续 ;( 2 ) 偏 导 数 存 在 ; ( 3 ) 可 微 。八 、 解 答 题 (本 题 10 分 )讨 论 反 常 积 分 10 1 1 sin dxx x ( 0 ) 的 收 敛 性 。九 、 重 积 分 问 题 (本 题 10分 )设 2 2 2 2 2 2 2 ( ) x y z tF t f x y z dxdydz 其 中 ( )f u 为 连 续 可 导 函 数 且 1(0) 0, (0)f f , 求 40 ( )limt F tt 。十 、 曲 线 积 分 (本 题 10分 )求 2 2 2224 cos d cosC x x x xx x dyy y y y ,其 中 C 是 点 ,2 2A 到 点 ,2B 在 上 半 平 面 ( 0)y 上 的 任 意 逐 段 光 滑 曲 线 。十 一 、 曲 面 积 分 ( 1 0 分 ) 计 算 第 二 型 曲 面 积 分 ( , , ) 2 ( , , ) ( , , ) 2I f x y z x dydz f x y z y dzdx f x y z z dxdy 其 中 ( , , )f x y z 在 上 连 续 , 1: x y z 取 第 四 卦 限 部 分 , 方 向 为 上侧 。