山东科技大学2019年硕士研究生自命题试题848.pdf
山 东 科 技 大 学 2019 年 全 国 硕 士 研 究 生 招 生 考 试 线 性 代 数 试 卷一 、 填 空 题 ( 每 小 题 5 分 , 共 20分 )1、 设 矩 阵 5 0 00 3 10 2 1A , 则 其 逆 矩 阵 1A 2、 设 A、 B均 为 3阶 方 阵 , 2A , 3B , 则 1A B 3、 设 四 元 非 齐 次 线 性 方 程 组 的 系 数 矩 阵 的 秩 为 3, 已 知 321 , aaa 是 它 的 三 个 解向 量 , Ta 5,4,3,21 , Taa 8,6,4,232 , 则 该 方 程 组 的 通 解 为 4、 设 矩 阵 1 1 11 1 11 1 1A , 则 该 矩 阵 的 非 零 特 征 值 是 二 、 选 择 题 ( 每 小 题 5 分 , 共 20分 .下 列 每 题 给 出 的 四 个 选 项 中 , 只 有 一 个 选 项是 符 合 题 目 要 求 的 .)1、 设 ,A B均 为 n阶 方 阵 , 则 下 列 各 式 正 确 的 是 ( )(A) A B A B + . ( B) AB BA .(C) AB BA . ( D) 1 1 1( )A B A B .2、 设 向 量 组 ( ): 1 2, , , r 的 秩 为 p ; 向 量 组 ( ) : 1 2, , , s 的 秩为 q, 且 向 量 组 ( )能 由 向 量 组 ( ) 线 性 表 出 , 则 ( )(A) p q . (B) p q .(C) p q . (D) 不 能 确 定 p , q的 大 小 关 系 .3、 n阶 方 阵 A与 对 角 矩 阵 相 似 的 充 分 必 要 条 件 是 ( )( A) A有 n个 不 同 的 特 征 值 . ( B) A有 n个 线 性 无 关 的 特 征 向 量 .( C) 0A . ( D) A的 特 征 方 程 没 有 重 根 .4、 设 A为 三 阶 矩 阵 , 将 A的 第 二 行 加 到 第 一 行 得 B , 再 将 B 的 第 一 列 的 1 倍加 到 第 二 列 得 C, 记 1 1 00 1 00 0 1P , 则 ( )(A) 1C P AP . (B) 1C PAP .(C) TC P AP . (D) TC PAP .三 、 计 算 行 列 式 ( 每 题 10 分 , 共 20 分 )1、 2 0 11 4 11 8 3D ; 2、 1 1 12 2 2n r rD n n n r 四 、 解 答 题 ( 每 题 15 分 , 共 30 分 )1、 求 矩 阵 1 2 1 42 1 0 30 0 1 11 1 1 1A 的 列 向 量 组 的 秩 及 一 个 最 大 无 关 组 , 并 把 其 余 向量 用 最 大 无 关 组 线 性 表 示 2、 已 知 线 性 方 程 组 1 2 3 41 2 3 41 2 3 40,2 5 3 2 0,7 7 3 0,x x x xx x x xx x x x 求 该 方 程 组 的 基 础 解 系 , 并 求 通 解 五 、( 本 题 20分 ) 设 有 向 量 组 A: 1 1122a , 2 1213a , 3 1140a 及 向 量 1031b ,问 向 量 b 能 否 由 向 量 组 A线 性 表 示 ? 若 能 , 求 出 表 示 式 .六 、 ( 本 题 20 分 ) 设 二 次 型 2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 1 3( , , ) 3 2 2 2 2Tf x x x x Ax x x x x x x x ,求 正 交 变 换 x Py , 把 二 次 型 f 化 为 标 准 形 , 并 判 断 f 是 否 为 正 定 二 次 型 .七 、 ( 每 小 题 10 分 , 共 20 分 )1、 设 为 n阶 可 逆 矩 阵 A的 特 征 值 , 证 明 A 为 A的 伴 随 矩 阵 *A 的 特 征 值 .2、 证 明 : 1 2 3, , 线 性 无 关 的 充 要 条 件 是 1 2 2 3 3 1, , 线 性 无 关 .