2016年电子科技大学857概率论与数理统计考研真题.pdf
第 1 页 共 4 页 电子科 技大学 2016 年攻读硕士学位研究 生入学考试试题 考试科 目857 概率 论与数 理统计 注 :所 有答案 必须 写在答 题纸 上,写 在试 卷或草 稿纸 上均无 效。 一、 填空题(每题 3 分,共15 分) 1 、 任 取一 正整 数, 该数 的 平方的 末位 数 是 1 的 概率 是_. 2 、 设随机变量 1 2 3 , X X X 相互 独立,其中 1 X 在区间0,6 上服从均匀分布, 2 X 服从正态分 布 2 (0,2 ) N , 3 X 服 从 参 数 为 3 的 泊 松 分 布 , 记 1 2 3 23 Y X X X , 则 D (Y ) =_. 3 、 设随机 变 量 X 服从 参数 为 2 的泊 松分 布, 且 Y 3X 2,则 E (3Y 2)=_. 4 、 设 随机变量 , XY 相 互 独 立 且 都 服 从 正态分布 2 (0,3 ) N ,而 1 2 9 , , , X X X 和 1 2 9 , , , Y Y Y 为分别 来自 总体 X 和 Y 的 简单随 机样 本, 则统 计量 1 2 9 2 2 2 1 2 9 X X X U Y Y Y 服从 , 参数 为 . 5 、 假设一 批产 品中 一, 二, 三等品 各 占 60% ,30% ,10% ,从 中随 意取 出一 件, 结果不 是 三 等品, 则取 得的 是一 等品 的概率 为 . 二、 单项选择题(每题 3 分, 共15 分) 1 、 设 当事 件 A 与 B 同时 发生时 ,事 件 C 必 发生 , 则( ) (A) ( ) ( ) ( ) 1 P C P A P B (B) ( ) ( ) ( ) 1 P C P A P B (C) ( ) ( ) P C P AB (D) ( ) ( ) P C P A B 2 、 设 随 机 变 量 , XY 均 服 从 正 态 分 布 , 2 ( ,4 ) XN , 2 ( ,5 ) YN ,记 1 4 p P X , 2 5 p P Y ,则 ( ) 第 2 页 共 4 页 (A) 对 任何实 数 ,都有 12 pp (B ) 对任 何实 数 ,都 有 12 pp (C) 只对 的个别 值 , 才有 12 pp (D )对 任何 实数 ,都 有 12 pp . 3 、 如果 , 满足 ( ) ( ) DD ,则必 有 ( ) (A) 与 独立 (B) 与 不相 关 (C) 0 D (D) 0 DD 4 、 若设随 机变 量 X 和 Y 都 服 从标准 正态 分布 ,则( ) (A) X+Y 服从 正态 分布 (B) 22 XY 服从 2 分布 (C) 2 X 和 2 Y 都服 从 2 分布 (D) 22 / XY 服从 F 分布 5、设 12 , XX 为独 立同 分布 序列 , 且 ( 1,2, ) i Xi 均服 从参 数 为 4 的 指数 分布, 当 n 比 较大时 , 1 1 n i i X n 近似服 从 ( ). (A) 4 (4, ) N n(B) 11 ( , ) 4 16 N n(C) 11 ( , ) 4 16 N (D) (4, ) 16 n N 三、 简答题(每题10 分, 共 30 分) 1 、 有两 个 口袋 ,甲 袋 中盛 有 两个 白 球, 一个 黑球, 乙 袋中 盛 有一 个白 球,两 个 黑球 , 由甲 袋中任 取一 个球 放入 乙袋 ,再从 乙袋 中取 出一 个球 ,求取 得白 球的 概率 。 2 、 假 设一 设备 开机 后无 故 障工作 的时 间 X 服 从指 数 分布, 平均 无故 障工 作 的 时间 (EX)为 5 小时。 设备 定时 开机 ,出 现故障 时自 动关 机, 而在 无故障 的情 况下 工 作 2 小 时便关 机 。 试求该 设备 每次 开机 无故 障工作 时 间 Y 的分 布函 数 F(y). 3 、 已知随机变量 (X,Y ) 服从二维正态分布,并且 X 和 Y 分 别 服 从 正 态 分 布 2 (1,3 ) N 和 2 (0,4 ) N , X 和 Y 的相 关系 数 1 2 xy 。设 32 XY Z ,求( 1 ) X 与 Z 的 相关系 数 xz , 第 3 页 共 4 页 (2)问 X 与 Z 是 否相 互独 立?为 什么 ? 四、 计算与证明题( 每题15 分,共90 分) 1 、 设二维 连续 型随 机变 量 (X ,Y ) 的联 合分 布函 数为 : ( , ) ( arctan )( arctan ), 23 xy F x y A B C (1) 求系数 A ,B ,C 及(X ,Y )的联 合概 率密 度 ; (2) 求 X ,Y 的边 际分 布函 数及 边际概 率密 度 。 2 、 设参加 考试 的学 生成 绩服 从正态 分布 ,从 中随 机地 抽取 36 位考 生的 成绩 , 算得平 均成 绩 为 66.5 分 , 标 准差 为 15 分 。 问 在显 著性 水平 0.05 下 , 是 否可 以认 为这 次考 试 全体考 生的 平均成 绩 为 70 分? 并给 出 检验过 程。 ( ) ( ) p P t n t n p 0.95 0.975 35 1.6896 2.0301 36 1.6883 2.0281 3 、 设 二维随 机 变量 (X,Y )的 联合 概 率密 度函 数为 1 , 1, 1 ( , ) 4 0, xy xy f x y 其 他证明 X,Y, 不相 互独 立,但 2 X 和 2 Y 相互 独立. 4 、 设 12 , XX 是一 列两 两不 相关 的 随机变 量 , 又设 它们 的方 差有界 ,即 存在 正 数 C , 使得 ( ) , 1,2, , i D X C i 试证明 :对 任意 的 0 有 11 11 lim ( ) 0 nn ii n ii P X E X nn . 5 、 设随机 变 量 X 与 Y 独立 , 其中 X 的 概率 分布 为 n() p tnp第 4 页 共 4 页 12 0.3 0.7 X , 而 Y 的概 率密 度为 () fy ,求 随 机变 量 U X Y 的概 率密 度 () gu 。 6 、 设 12 , , , n X X X 为来 自总 体 ) , ( 2 N 的简单 随机 样本, 记 2 2 2 2 11 1 1 1 , ( ) , 1 nn ii ii X X S X X T X S n n n (1) 证明 T 是 2 的无 偏估 计 量。 (2)当 0, 1 时,求 D (T)。