2019年辽宁大学考研专业课数学院硕士研究生考试大纲.docx
数学分析考试大纲1.函数1.1 掌握实数概念及其基本性质。掌握实数绝对值的概念和有关的不等式。1.2 掌握邻域概念, 掌握确界定理。1.3 掌握函数的概念及各种表示方法,掌握复合函数和反函数的概念。1.4 掌握有界函数与无界函数、单调函数、奇函数和偶函数、周期函数等概念。1.5 掌握六类基本初等函数的定义和性质。1.6 掌握常用的几个非初等函数,如符号函数,狄利克雷函数等。2. 数列极限2.1 掌握数列极限的 的定义, 会使用“ 语言”证明数列的极限。NN2.2 正确理解和掌握收敛数列的性质。2.3 掌握单调有界原理,致密性定理及 Cauchy 收敛准则。3. 函数极限3.1 掌握函数极限的 和 定义。M3.2 掌握函数极限的性质。3.3 掌握函数极限存在的条件, 掌握归结原则及柯西准则。3.4 掌握重要极限 和 及其应用。1sinlm0x1li()xxe3.5 正确理解和掌握无穷大和无穷小的概念及无穷小的阶。4. 函数的连续性4.1 掌握连续函数的概念, 掌握间断点及其分类。4.2 掌握连续函数的局部性质,掌握闭区间上连续函数的性质。4.3 掌握反函数的连续性,掌握函数的一致连续性。4.4 掌握初等函数在其定义域上的连续性。5. 导数与微分5.1 掌握导数的概念及其几何意义。5.2 掌握求导法则,掌握参变量函数的导数法则, 掌握高阶导数的求法。 5.3 掌握微分的概念及其几何意义。5.4 掌握微分的运算法则,了解高阶微分,了解微分在近似计算中的应用。6. 微分中值定理及其应用 6.1 熟练掌握中值定理的条件、结论和证明方法。6.2 掌握不定式极限的求法,熟练掌握洛必达法则及其应用。6.3 掌握泰勒公式,掌握用多项式逼近函数的思想。6.4 会分析函数的性态,会求函数的单调区间和极值,会判断函数的凸性和拐点,会较完善地作出函数的图形。7. 实数的完备性7.1 理解区间套概念,能熟练使用区间套定理。7.2 掌握聚点概念及各种等价定义,能熟练使用聚点定理。7.3 理解(开)覆盖的定义并且会用集合术语表达,体会如何构造开覆盖并且会用开覆盖定理。7.4 知晓实数完备性的六种等价说法及其证明。8. 原函数与不定积分8.1 掌握原函数定义及唯一性(不计常数) 。8.2 掌握不定积分的定义、性质。8.3 熟练使用换元公式和分部积分公式。8.4 了解有理函数不定积分的计算方法。8.5 了解某些其它类型不定积分的计算方法。9. 定积分(Riemann 积分)9.1 深入理解定积分概念及其产生背景。9.2 熟练掌握可积性的判别准则及可积函数类。9.3 熟练掌握定积分的性质及积分中值定理。9.4 重点掌握微积分学基本定理和 Newton-Leibniz 公式。9.5 熟练使用定积分工具解决几何、物理和学科的问题。10. 反常积分10.1 深入理解反常积分概念及其产生背景。10.2 熟练使用反常积分的收敛判别法。11. 数项级数11.1 深入理解数项级数的概念及其产生背景。11.2 直观理解绝对收敛和条件收敛概念。11.3 熟练使用正项级数和一般项级数的收敛判别法。12. 函数列、函数项级数和幂级数12.1 深入理解逐点收敛和一致收敛概念,重点在一致收敛。12.2 熟练使用一致收敛的 Cauchy 准则及收敛判别法。12.3 掌握一致收敛函数列(函数项级数)之极限函数(和函数)的分析性质,即连续性、可积性、可微性。12.4 能熟练求出一个幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域。12.5 熟知幂级数在其收敛区间上的性质(内闭一致收敛性、连续性、逐项可积和逐项可导性) 。12.6 掌握将光滑函数展为幂级数的基本方法。13. 傅里叶(Fourier)级数13.1 深入理解傅里叶级数及其产生的物理背景。13.2 会做一个可积函数的傅里叶级数。13.2 掌握三角函数系的正交性、Bessel 不等式和 Riemann-Lebesgue 引理。13.4 了解有关傅里叶级数收敛性的一些结果。14. 多元函数微分学14.1掌握平面点集的一些概念: 邻域、内点、界点、聚点、区域、闭区域、有界 区域、无界区域等。14.2掌握二元函数和二元函数极限的定义,弄清二重极限与累次极限的区别及其联系。14.3 掌握二元连续函数的定义以及性质。14.4 理解可微性的条件、几何意义及应用。14.5 熟练计算偏导数和高阶偏导数。14.6 了解方向导数与梯度的定义。14.7 会运用泰勒公式解决极值问题。15. 隐函数15.1 理解隐函数的概念及存在性的条件。15.2了解隐函数组的概念及定理并掌握几何运用。15.3掌握条件极值的求法。16.含参变量的积分16.1 掌握含参量正常积分及反正常积分。16.2 掌握一致收敛的判别法。16.3 理解欧拉积分并会应用。17. 重积分17.1 掌握二重积分的概念,理解二重积分的可积函数类与性质。17.2 掌握二重积分的计算,掌握二重积分的变量变换和二重积分的应用。17.3 掌握三重积分的概念。17.4 掌握三重积分的计算,掌握三重积分的变量变换和应用。18. 曲线积分与曲面积分18.1 正确理解第一型曲线积分和第二型曲线积分的概念。18.2 掌握第一型曲线积分和第二型曲线积分的计算。18.3 会运用格林公式和积分与路径无关的条件解决问题。18.4 正确理解第一型曲面积分和第二型曲面积分的概念。18.5 掌握第一型曲面积分和第二型曲面积分的计算。18.6 会运用高斯公式和斯托克斯公式。18.7 了解场的概念和各种场。高等代数考试大纲1. 行列式1.1 了解排列的概念及性质。1.2 熟练掌握行列式的概念、性质。1.3 掌握行列式的计算方法。1.4 熟悉克拉姆法则。1.5 对矩阵及矩阵的初等变换有初步的了解。2. 线性方程组2.1 掌握 维向量及 维向量空间的概念,熟练掌握向量的运算。n2.2 熟练掌握向量组的线性相关性,理解向量组的极大无关组。2.3 深刻理解向量组的秩和矩阵的秩的定义,掌握矩阵秩的计算方法。2.4 熟练掌握线性方程组的有解判别定理。 2.5 正确理解和掌握齐次线性方程组的基础解系的概念和计算方法,熟练掌握线性方程组的解的结构定理,会求解线性方程组。3. 矩阵3.1 了解矩阵概念的一些背景。3.2 熟练掌握矩阵的运算及运算律。3.3 掌握矩阵乘积的行列式定理,矩阵乘积的秩与它的因子的秩的关系。3.4 深入理解矩阵可逆、逆矩阵、伴随矩阵等概念,掌握方阵可逆的充要条,会用件公式法求矩阵的逆矩阵。 3.5 理解分块矩阵的意义,掌握分块矩阵的运算及性质。3.6 正确理解和掌握初等矩阵、初等变换的概念及它们的关系,熟练掌握利用初等变换方法求矩阵的逆矩阵。3.7 了解分块乘法的初等变换,会将矩阵分块与初等变换结合进行矩阵运算。4. 二次型4.1 正确理解二次型非退化线性替换的概念,掌握二次型的矩阵表示,掌握矩阵合同的概念与性质。4.2 掌握化二次型为标准形的方法。4.3 深刻理解对称矩阵与二次型的关系,掌握对称矩阵的性质。4.4 掌握惯性定理,熟练掌握正定二次型的等价条件。4.5 掌握半正定二次型的等价条件。5. 线性空间5.1 掌握集合与映射的相关概念。5.2 熟练掌握线性空间及其基于维数等相关概念。5.3 会求线性空间的基与维数。5.4 掌握基变换与坐标变换的公式, 。5.5 熟练掌握线性子空间的概念及其判定方法。5.6 掌握子空间的交与和的定义及性质,熟练掌握维数公式。5.7 深刻理解子空间的直和的概念,掌握判定直和的充要条件。5.8 理解并掌握线性空间同构的定义、性质及有限维空间同构的充要条件。6. 线性变换6.1 理解并掌握线性变换的定义及性质。6.2 掌握线性变换的运算及运算律,理解线性变换的多项式。6.3 掌握线性变换与矩阵的关系,掌握矩阵相似的概念及性质。6.4 理解并掌握矩阵的特征值、特征向量、特征多项式的概念及性质,会求矩阵的特征值和特征向量,掌握哈密尔顿-凯莱定理。 6.5 掌握线性变换的值域与核的概念及相关理论。6.6 了解不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系。7. 欧几里得空间7.1 深刻理解并掌握欧几里得空间的基本概念和理论。7.2 掌握向量的内积和向量的度量性质。7.3 正确理解正交向量组、标准正交基的概念,掌握施密特正交化方法。7.4 理解并掌握正交变换的概念与等价条件,掌握正交变换与向量长度、标准正交基以及正交矩阵的关系。 7.5 理解两个子空间正交的概念,掌握正交与直和的关系。7.6 熟练掌握实对称矩阵的进一步性质。8. 多项式8.1 了解多项式的定义与基本运算。8.2 掌握多项式整除的概念、性质与带余除法。8.3 掌握最大公因式的概念、存在性与求法,掌握多项式互素的概念与相关性质。8.4 掌握不可约多项式的概念、性质。8.5 了解因式分解定理以及复系数与实系数多项式的因式分解定理。8.6 了解重因式的概念以及多项式有重因式的充要条件。8.7 了解多项式函数的概念、余数定理、代数基本定理。8.8 掌握求有理系数多项式的全部有理根的方法以及 Eisenstein 判别法。9. 矩阵9.1 了解 矩阵的定义、 矩阵的初等变换、 矩阵的标准形以及 矩阵的行列式因子、不变因子等概念,了解 矩阵等价的充要条件,掌握用初等变换将 矩阵化为标准形的方法。9.2 掌握矩阵初等因子的概念、求法以及数字矩阵相似的充要条件。9.3 了解矩阵的 Jordan 标准形以及有理标准形的概念,掌握矩阵的 Jordan 标准形的求法,了解矩阵有理标准形的求法。常微分方程考试大纲1. 初等积分法1.1 掌握微分方程与解的基本定义,认识常微分方程课程的整体结构。1.2 掌握分离变量法,会用该方法求解变量可分离方程。1.3 掌握两类可转化为可分离变量形式微分方程的解法,重点掌握齐次方程解法。1.4 掌握一阶线性常微分方程的解法常数变易法,会用该方法求解非齐次方程。1.5 掌握全微分方程及积分因子的基本概念,掌握全微分方程求解法,会用积分因子法将非全微分方程转化为全微分方程。1.6 掌握参数法求解一阶隐式微分方程,具体会解 4 种形式的一阶隐式微分方程。1.7 掌握几种可降阶的高阶方程的解法。1.8 介绍一阶微分方程应用举例 1.等角轨线;2.在动力学中的应用。2. 基本定理2.1 了解微分方程定性理论的发展背景,掌握微分方程解的几何意义。2.2 重点掌握解的存在性与唯一性定理,理解定理条件。2.3 掌握可延展解与不可延展解的定义,掌握不可延展解的存在定理和性质。2.4 掌握奇解概念及求解奇解的方法。掌握包络的概念及求解包络的方法。掌握克莱洛方程的类型及求解方法。 2.5 掌握解对初值的连续依赖性和解对初值的可微性。3. 一阶线性微分方程组3.1 掌握线性微分方程组的一般理论及微分方程组所有解的代数结构。3.2 掌握齐线性微分方程组的基解矩阵。3.3 掌握非齐方程组的常数变易法。3.4 掌握运用特征根求解常系数齐线性微分方程组的基解矩阵。常系数非齐次线性微分方程组的通解公式。3.5 掌握常系数齐次线性微分方程组的基解矩阵为 。xAe)(4n 阶线性微分方程 4.1 掌握 n 阶线性齐次方程的一般理论,包括通解结构、基本解组的概念;掌握非齐次线性微分方程的通解结构,已知齐次方程通解会运用常数变易法求非齐方程通解。4.2 重点 n 阶常系数线性齐次方程解法,即运用特征方程的特征根求解 n 阶常系数齐线性方程的通解。4.3 掌握系数比较法求解 n 阶常系数线性非齐次方程的运算技巧。4.4 理解二阶常系数线性方程与振动现象的关系。4.5 了解拉普拉斯变换。5.常微分方程解的稳定性介绍5.1 掌握常微分方程解稳定性概念,及稳定性的判定方法。5.2 掌握李雅普诺夫第二方法。5.3 了解平面自治系统基本概念,了解某些平面定性理论。复变函数考试大纲1. 复数及其几何表示1.1 掌握复数及其运算,掌握复数域概念。1.2 掌握复数的几种表示方法。1.3 掌握复数的球极射影、复球面、无穷大及扩充的复平面等概念。1.4 掌握内点、聚点、边界点、开集、闭集及紧集等复平面拓扑概念。1.5 掌握简单曲线及光滑曲线概念,掌握若尔当定理。2. 复变函数2.1 掌握复变函数以及复变函数的极限、连续、可微和解析等概念。2.2 熟练掌握柯西黎曼条件。2.3 掌握辐角函数,了解多值函数。2.4 掌握支点概念,掌握指数函数、对数函数、幂函数及三角函数等初等函数。3. 复变函数的积分 3.1 掌握复变函数积分的定义及性质。3.2 掌握多边形区域周界的积分性质, 掌握积分与原函数的关系。3.3 熟练掌握柯西定理。3.4 熟练掌握柯西公式并会运用该公式进行积分计算。3.5 掌握莫雷拉定理。4. 级数4.1 掌握级数和数列的基本性质,掌握复数项级数和复数序列的收敛性及收敛的条件。