南京航空航天大学2014年量子力学考研真题.pdf
科目代码:618 科目名称:量子力学 第 1 页 共 2 页 南京航空航天大学 2014 年硕士研究生入学考试初试试题( A卷) 科目代码 : 618 科目名称 : 量子力学 满分 : 150 分 注意: 认真阅读答题纸上的注意事项;所有答案必须写在答题纸上,写在本试题纸或草稿纸上均无效;本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回! 一、简答题 (本题45分,每小题15分) 写出氢原子、一维简谐振子、一维无限深势阱的能级,并用示意图表示。 证明:定态波函数(x)总可以取作实数的。 能量本征态有可能是角动量2L的本征态吗?有可能是zL的本征态吗?请回答为什么并举例说明。 二、在一维无限深势阱中,一个粒子的初始波函数由前两个定态迭加而成:(x,0)=A1(x) +2(x)。为了简化计算可令222/ mah =。 归一化(x,0),并求(x,t)和|(x,t)|2,把后者用时间的正弦函数展开。 计算x、p的值。它们是随时间振荡的,角频率是多少?振幅是多少? 测量粒子的能量,可能得到什么值?得到各个值的几率是多少?求出H的期望值。并与 E1和E2比较。(本题20分) 三、质量为 m 的粒子在一维线性谐振子势:V(x)=m2x2/2 中运动。在占有数表象中哈密顿量可写为:。这里 分别为升、降算符。已知谐振子基态波函数为: 利用升算符性质:,求谐振子第一激发态的波函数; 假设粒子处在基态0(x),突然改变谐振子的 “振动频率” 为=2,粒子新的基态能是多少?新的基态波函数是什么? 假设这时粒子波函数仍然保持0(x)不变,此时测量粒子能量,发现粒子能量取新的基态能的几率是多少?(本题25分) 科目代码:618 科目名称:量子力学 第 2 页 共 2 页 四、在t=0时,氢原子的波函数 式中波函数的下标分别为量子数n,l,m的值,忽略自旋和辐射跃迁。 写出在t时刻的波函数; 在0=t时振子能量的平均值是多少?1=t秒时呢?(本题20分) 五、电子静止在一振荡磁场 中,其哈密顿量写作 ,其中 为自旋角动量,(旋磁比)、B0(磁场振幅) 和(振荡圆频率) 为三个常数。 构造这个体系的哈密顿矩阵。 电子的初始态 t=0 时为处于 x轴方向上的上自旋态,即:(t)= 0(+)。确定以后任意时刻的(t) 如果测量 Sx,求出得到2/h的几率。 迫使Sx完全翻转所需要的最小磁场 B0是多大?(本题20分) 六、粒子在二维无限深方势阱中运动,=,0 ,0其他ayxV。加上微扰H=xy。求基态、第一激发态能级的一级微扰修正。(本题20分)