2014年全国硕士研究生考研数学一试题.pdf
2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、选择 题 :1 8 小题 , 每小题 4 分 , 共 32 分 .下列每题给出的四个选项中 , 只有一个选项符合题目要求的 , 请将所选项前的字母填在 答题纸 指定位置上 . ( 1)下列曲线中有渐近线的是( ) ( A) siny x x ( B) 2 siny x x ( C) 1sinyx x ( D) 2 1sinyx x ( 2)设函数 ()fx具有 二 阶导数, ( ) (0)(1 ) (1)g x f x f x ,则在区间 0,1内( ) ( A)当 ( ) 0fx 时, ( ) ( )f x g x ( B)当 ( ) 0fx 时, ( ) ( )f x g x ( C) 当 ( ) 0fx 时, ( ) ( )f x g x ( D) 当 ( ) 0fx 时, ( ) ( )f x g x ( 3)设 ( , )f x y 是连续函数,则 21101( , )yydy f x y dx ( ) ( A)21 1 0 10 0 1 0( , ) ( , )xxdx f x y dy dx f x y dy ( B) 21 1 0 00 0 1 1( , ) ( , )xxdx f x y dy dx f x y dy ( C)1 12 cos sin0 0 02( cos , sin ) ( cos , sin )d f r r dr d f r r dr ( D)1 12 cos sin0 0 02( cos , sin ) ( cos , sin )d f r r rdr d f r r rdr ( 4)若函数 2211,( cos sin ) min ( cos sin )a b Rx a x b x dx x a x b x dx ,则 11cos sina x b x( ) ( A) 2sin x ( B) 2cosx ( C) 2 sin x ( D) 2 cos x ( 5)行列式000000ababcdcd( ) ( A) 2()ad bc ( B) 2()ad bc ( C) 2 2 2 2a d b c ( D) 2 2 2 2b c a d ( 6)设 1 2 3, 为 3 维向量,则对任意常数 ,kl,向量组 1 3 2 3,kl 线性无关是向量组 1 2 3, 线性无关的( ) ( A)必要非充分条件 ( B)充分非必要条件 ( C)充分必要条件 ( D)既非充分也非必要条件 ( 7)设随机事件 A 与 B 相互独立,且 3.0)(,5.0)( BAPBP ,则 )( ABP ( ) ( A) 0.1 (B)0.2 (C)0.3 (D)0.4 ( 8)设连续型随机变量 21, XX 相互独立 , 且方差均存在, 21, XX 的概率密度分别为)(),( 21 xfxf ,随机变量 1Y 的概率密度为 )()(21)( 211yfyfyfY ,随机变量)(21 212 XXY ,则 ( A) 2121 , DYDYEYEY ( B) 2121 , DYDYEYEY ( C) 2121 , DYDYEYEY ( D) 1 2 1 2,EY EY DY DY 二、填空题 : 9 14 小题 ,每小题 4 分 ,共 24 分 .请将答案写在 答题纸 指定位置上 . ( 9)曲面 )sin1()sin1( 22 xyyxz 在点 )1,0,1( 处的切平面方程为 ( 10)设 )( xf 是周期为 4 的可导奇函数,且 2,0),1(2)( xxxf ,则 )7(f ( 11)微分方程 0)ln(ln yxyyx 满足条件 3)1( ey 的解为 y ( 12)设 L 是柱面 122 yx 与平面 0zy 的交线,从 z 轴 正向往 z 轴负向看去为逆时针方向 ,则曲线积分 Lydzzdx ( 13)设二次型 32312221321 42),( xxxaxxxxxxf 的负惯性指数为 1,则 a的取值范围是 ( 14)设总体 X 的概率密度为 其他,02,32),( 2 xxxf ,其中 是未知参数,nXXX , 21 为来自总体 X 的简单随机样本,若 niiXc12 为 2 的无偏估计 ,则c 三、解答题 : 15 23 小题 ,共 94 分 .请将解答写在 答题纸 指定位置上 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . ( 15)(本题满分 10 分) 求极限)11ln()1(lim2112xxdttetx tx ( 16)(本题满分 10 分) 设函数 )(xfy 是由方程 06223 xyyxy 确定,求 )(xf 的极值 ( 17)(本题满分 10 分) 设函数 )(uf 具有 2 阶连续导数, )cos( yefz x 满足 xx eyezyzxz 22222)cos(4 ,若 0)0(,0)0( ff ,求 )(uf 的表达式 . ( 18)(本题满分 10 分) 设 为曲面 )1(22 zyxz 的上侧,计算曲面积分 dxdyzdzdxydydzxI )1()1()1( 33 ( 19)(本题满分 10 分) 设数列 , nn ba 满足 nnnnn baaba coscos,20,20 ,且级数1nnb 收敛 . ( I)证明: ;0lim nna ( II)证明:级数 1n nnba 收敛 . ( 20)(本题满分 11 分) 设 EA ,302111104321 为 3阶单位矩阵 . ( I)求方程组 0Ax 的一个基础解系 ; ( II)求满足 EAB 的所有矩阵 B . ( 21)(本题满分 11 分) 证明 : n阶矩阵111111111与n00200100相似 ( 22)(本题满分 11 分) 设随机变量 X 的概率分布为 2121 XPXP ,在给定 iX 的条件下,随机变量Y 服从均匀分布 )2,1)(,0( iiU , ( I)求 Y 的分布函数 )(yFY ; ( II)求 EY ( 23)(本题满分 11 分) 设总体 X 的分布函数 21 , 0( ; ),0xexFxx ,其中 是 未知 参数 且大于零, 12, , , nX X X 为 来自总体 X 的简单随机样本 . ( 1)求 EX 与 2EX ; ( 2)求 的最大似然估计量 n ; ( 3)是否存在实数 a ,使得 对任何 0 ,都有 lim 0nnPa .