2016年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案.pdf
2016 年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题及解答本文档仅供学习交流之用.试题来源于网络,解答由孟庆鑫提供,个人观点仅供参考.一、选择题: 1s8 小题 , 每小题 4 分 , 共 32 分 . 下列每题给出的四个选项中 , 只有一个选项是符合题目要求的 .1.设a1 = x (cos px 1); a2 = pxln (1 + 3px); a3 = 3px + 1 1;当x ! 0+时,以上三个无穷小量按照从低到高阶的排序是 B (A) a1; a2; a3: (B) a2; a3; a1: (C) a2; a1; a3: (D) a3; a2; a1:2.已知函数f(x) =81: (B) a 0);求f(x)并求f(x)的最小值.解f(x) =10j t2 x2 j d t =8:43x3 x2 + 13; 0 0); (1)对(1)式微分得: (2xd x + 2y d y)z + (x2 + y2)d z + 1z d z + 2(d x + d y) = 0;整理得: 2(xz + 1)d x + 2(yz + 1)d y +(x2 + y2 + 1z)d z = 0; (2)求z的极值,就令d z = 0;代入(2)式得: (xz + 1)d x + (yz + 1)d y = 0;系数矩阵降秩,即xz + 1 = 0;yz + 1 = 0;与(1)式联立可解得(x; y; z) = ( 1; 1; 1);下面判断z( 1; 1) = 1是极大值还是极小值,有两种方法.:方:法:一:对(2)式再微分,得:2(xd z + z d x)d x + 2(xz + 1)d 2x + 2(y d z + z d y)d y + 2(yz + 1)d 2y+d(x2 + y2 + 1z)d z +(x2 + y2 + 1z)d 2z = 0:注意到x; y是自变量,于是d 2x = 0; d 2y = 0;再代入(x; y; z) = ( 1; 1; 1); d z = 0;即有2d x2 + 2d y2 + 3d 2z = 0;于是d 2z( 1; 1;1) = 23 (d x2 + d y2) 0 ) f(x)在区间(0; 3 2)内有唯一零点.22.(本题满分11分)设矩阵A =0B1 1 1 a1 0 aa + 1 1 a + 11CA; =0B012a 21CA;且方程组Ax = 无解.( I )求a的值;(II)求方程组ATAx = AT 的通解.( I )解(Aj ) =0B1 1 1 a1 0 aa + 1 1 a + 1012a 21CA!0B1 0 a0 1 1 2a0 0 a(2 a)11a 21CA ;方程组Ax = 无解) a = 0:(II)解(ATAjAT ) =0B3 2 22 2 22 2 21221CA!0B1 0 00 1 10 0 01201CA ;方程组ATAx = AT 的通解为x = k0B0111CA+0B1201CA;其中k为任意常数.23.(本题满分11分)已知矩阵A =0B0 1 12 3 00 0 01CA:( I )求A99;(II)设3阶矩阵B = ( 1; 2; 3)满足B2 = BA;记B100 = ( 1; 2; 3);将1; 2; 3分别表示为 1; 2; 3的线性组合.( I )解j E Aj = ( + 1)( + 2); 1 = 2对应的特征向量为(1; 2; 0)T;2 = 1对应的特征向量为(1; 1; 0)T; 3 = 0对应的特征向量为(3; 2; 2)T:令P =0B1 1 32 1 20 0 21CA;则有P 1AP =0B2 0 00 1 00 0 01CA令= ;数学(二)试题及解答 第5页(共6页)A99 = (P P 1)99 = P 99P 1 =0B2 + 299 1 299 2 2982 + 2100 1 2100 2 2990 0 01CA:(II)解B2 = BA ) B100 = BA99;即1 = ( 2 + 299) 1 + ( 2 + 2100) 2;1 = (1 299) 1 + (1 2100) 2;1 = (2 298) 1 + (2 299) 2:数学(二)试题及解答 第6页(共6页)