2019年大连交通大学考研专业课814数学分析初试大纲.doc.doc
2019 年硕士研究生招生考试初试考试大纲科目代码:814 科目名称:数学分析适用专业:数学类各专业考试时间:3 小时考试方式:笔试总 分:150 分考试范围:一、函数、极限与连续1深入理解函数的概念,理解基本初等函数的图像,理解几个特殊的函数性质,如有界、单调、奇偶与周期,熟练掌握复合函数、反函数与初等函数的运算。2深入理解数列极限的概念;熟练掌握收敛数列的性质,如唯一性、有界性、保号性、保不等式性及数列极限的存在条件(单调有界数列必有极限与夹逼定理)。3深入理解函数极限的概念,包括函数极限的若干种情形;熟练掌握函数极限的性质,包括唯一性、局部有界性、局部保号性、保不等式性、迫敛性、四则运算法则;掌握函数极限的存在条件;熟练掌握两个重要极限,会用无穷大与无穷小处理极限问题。4深入理解无穷小与无穷大的概念,熟练掌握无穷小比较的定义与求解。5深入理解连续函数的概念,掌握闭区间上连续函数的性质;理解一致连续的概念;了解复合函数与反函数连续的充分条件,以及初等函数的连续性。二、一元函数微分学1深入理解导数的概念,了解物理和几何背景;熟练掌握各种求导的运算;理解微分的概念,会进行近似计算。理解高阶导数的概念,了解莱布尼兹公式。2掌握三个微分中值定理;熟练掌握罗必达法则;掌握带有两种余项的泰勒公式,熟练掌握常用的几个函数的展开式;掌握运用导数来判断函数的单调、凹凸等性质;掌握函数极值的判别和函数最大(小)值的求法。三、一元函数积分学1理解不定积分的概念,熟练掌握基本初等函数的不定积分;掌握常用的换元积分法与分部积分法;掌握有理函数、简单的无理函数与三角有理函数的不定积分。2深入理解定积分的概念;理解可积准则;了解常用的可积函数类;了解定积分的性质;理解变限定积分的概念与原函数存在定理。熟练掌握计算定积分的牛顿莱布尼兹公式、换元公式和分部公式。3掌握用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积、平行截面面积已知的立体体积和平面曲线的弧长。四、多元函数微分学1理解多元函数的概念;掌握几种极限之间的关系,连续函数的性质。2理解偏导数与全微分的概念。3了解方向导数和梯度的概念。4熟练掌握复合函数的微分计算。5了解隐含数的存在性条件与结论;熟练掌握隐函数的微分法。6.掌握偏导数的几何应用与条件极值的求法。五、多元函数积分学1理解重积分的概念,掌握其性质及计算方法(重点为二重与三重积分)。2了解曲线、曲面积分的定义与计算,掌握格林公式、高斯公式、奥高公式。六、无穷级数1掌握数项级数收敛性的定义和收敛级数的性质;掌握判别正项级数敛散性的各种方法比较判别法,比式判别法,根式判别法和积分判别法;理解收敛级数、绝对收敛级数与条件收敛级数的关系、性质及证明方法;掌握交错级数的莱布尼茨判别法;掌握一般项级数的狄利克雷判别法与阿贝尔判别法。2理解一致收敛函数序列与函数项级数的连续性,可积性,可微性,掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义、函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则、魏尔斯特拉斯判别法、狄利克雷判别法与阿贝尔判别法。 3理解幂级数作为特殊的函数项级数和一般函数项级数相同的性质,会求幂级数的收敛半径和收敛范围;掌握泰勒级数和麦克劳林展开公式,五种基本初等函数的幂级数展开。4了解傅里叶级数的收敛定理,掌握三角级数和傅里叶级数定义;掌握以与 为周期的函数的展开式,偶函数和奇函数的傅里叶级数的展开,正弦2级数,余弦级数。七、反常积分与参变量积分1深入理解反常积分,无穷积分,瑕积分的概念、性质及判别法。2深入理解含参变量积分的概念、性质及判别法;了解 函数与 B 函数。3掌握反常积分与含参变量积分的计算。样 题:一、试解下列各题(本大题共 4 小题,每小题 6 分,总计 24 分)1已知 在 处连续,求常数 。0 ,)(cos)21xaxf a2设 在 处的邻域内连续, ,讨论函数 在 处的可导()f ()()gxfx()gxa性。3设函数 由方程 所确定,求 。)(xyyxy20xdy4求函数 的极值。10f二、试解下列各题(本大题共 4 小题,每小题 8 分,总计 32 分)1已知表达式 为某二元函数 的全微dyxbydxyax )3sin1()cos( 223 ),(yxf分,求 。b,2求曲线 在点 处的切线与法平面方程。226yxz)2,1(0M3计算 ,其中 是圆周 正向。Ldy22L2yx4求幂级数 的和函数。01nx)1,(三、试解下列各题(本大题共 6 小题,每小题 12 分,总计 72 分)1设直线 与抛物线 所围成的面积为 ,它们与直线 所围成的图形面积为axy2xy1S1x,且 。2S(i)试确定 的值,使 达到最小,并求最小值;a21S(ii)求该最小值所对应的平面图形绕 轴旋转一周所得旋转体的体积。x2设 在闭区间 上连续,其导数 在开区间 内存在且单调减少,)(xf,0c)(f),0(c,试应用拉格朗日中值定理证明不等式: ,其中常数0 )(bfabf满足条件 。ba, cba3计算 。12214yxyxdede4计算 , 。0siniabIpx abp,05判断函数项级数 在区间 上的一致收敛性。11)(nn1,6讨论 ( )的收敛性,并指明是绝对收敛还是条件收敛? 1sidxp0四、证明题(本大题共 2 小题,每小题 11 分,总计 22 分)1证明:对任意自然数 ,方程 在 内有唯一实根,并证明级数 (n1xn),0( 1nx)收敛。2设函数 在区间 上连续,且 存在,则 在区间 上)(xf),a)(limxfx)(xf),a一致连续。