2018山东科技大学研究生入学考试711微积分真题.pdf
一、(本题包括4个小题,每小题7分,共28分)求以下函数的极限:1、 xxxx1tan11lim 22、limnullnull lnnull11lnnull3、 111lim0 xx ex4、dttedtex tx tx 02200 22lim二、(本题包括2个小题,第1小题12分,第2小题8分,共20分)1、设函数 )0,0(),(,0)0,0(),(,sin),( 2222yxyxyxyx xyyxf ,问:(1) ),( yxf 在点 )( 0,0 处是否连续?(2) )0,0(),0,0( yx ff 是否存在?(3) ),( yxf 在点 )( 0,0 处是否可微?2、设方程 zezyx 确定了隐函数 yxzz , ,求null2znullnull2 , null2znullnullnullnull。三、(本题包括2个小题,每小题14分,共28分)1、计算定积分:(1) 01 1 null2 nullnull;(2) xdxe x cos202。2、计算二重积分:(1) dxdyex yD22 ,其中D是以(0,0),(1,1),(0,1)为顶点的三角形闭区域。(2) Ddxdyyx 221ln ,其中D是由圆周 422 yx 及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域。四、(本题包括2个小题,第1小题12分,第2小题8分,共20分)1、描绘函数null null = 13null3 + null2 1 的图形(注意:要指明函数的单调性、凹凸性和极值)。2、求函数 zyxzyxf ln3ln2ln),( 在球面null2 + null2 +null2 = 1 上的最大值,其中0, zyx 。五、(本题包括2个小题,每小题7分,共14分)1、判别级数 n=1 nullnullnull!nullnull 的收敛性,其中 0a 。2、求幂级数 null=1 3nullnull2+1 nullnull的收敛域。六、(本题包括2个小题,每小题8分,共16分)1、求解微分方程nullnull null = nulltannullnull。2、求微分方程y“ +null = nullnullnull的通解。七、(本题包括3个小题,每小题8分,共24分)1、证明:若函数 )(xf 在0 , +)内连续,且 limnull+null(null)存在,则 )(xf 在0 , +)内有界。2、设 )(xf 在 1,0 上可导,且 1)(0 xf , 1)( xf ,证明方程 null = null(null)在(0,1)内有唯一的实根,并给出其几何解释。3、证明:null 0,有 1null+1 ln 1+ 1null 1null。