2018上海海事大学考研真题831高等代数.pdf
2018年上海海事大学攻读硕士学位研究生入学考试试题 ( 重要提示 :答案必须做在答题纸上,做在试题上不给分) 考试科目代码 831 考试科目名称 高等代数 一、填空题(每小题 5 分,共 60 分,其中第 1012 小题应填“真”或“假”) 1. 当 a=( ) 时多项式 2()f x x ax与 2( ) 4g x x x a 有公共根。2. 若数域 P上的一元多项式 ( ) ( )f x g x与 互素,即 ( ( ), ( ) 1f x g x . 则 ( ( ), ( )+ ( )f x f x g x= ( ). 3. 当 =( )时,下述齐次线性方程组有非零解 : 1 2 3 41 2 3 41 2 3 41 2 3 42 2 2 02 2 2 02 2 2 02 2 2 0x x x xx x x xx x x xx x x x 4. 当 k=( )时,以下向量组线性相关: 1 2 3 4( 1 ,1 ,1 , 3 ) , ( 1 , 3 , 5 ,1 ) , ( 3 , 2 , 1 , ) , ( 2 , 6 ,1 0 , ) .kk 5. 设矩阵 A和 B分别是 2 3 和 3 3 的矩阵,秩 (A)=2,秩 (B)=3,则 A与 B的乘积 AB的 秩是 ( )。 6. 方 阵 A和 B满足 21 ,2A B E A A 这里 E为单位矩阵。则 B2=( )。 7. 三阶矩阵 A的特征 根 为 1, 2, 4,则 A的 行列式 |A| =( )。 8. 设 V1, V2都是线性空间 V的子空间, V1V2,且 V1与 V2有相同的维数,则 ( )。 9. 设 A是 3 维欧氏空间 R3的线性变换: 3( , , ) ( , , ) , ( , , ) .A x y z x y x z z x y z R 则 A在基 1 2 3(1 , 0 , 0 ) , (1 ,1 , 0 ) , (1 ,1 ,1 ) 下的矩阵为( )。 10. 以下命题为( ): 若方阵 A, B, C满足 AB=AC,则 B=C. 11. 以下 结论 为( ): 每一个 n维线性空间都可以表示为 n个一维线性空间的直和。 12. 以下 论断 为( ): 若 是正交矩阵 A的特征根,则 1 也是 A的特征根。 二 、 计算 题( 1、 3 小题 各 17 分, 2、 4 小题 各 18 分,共 70 分) 1. 计算 n阶行列式 123 ( , 1 , 2 , . ., )nina y y yy a y yD y y a y y a i ny y y a 2. 取何值时 ,以下线性方程组有惟一解、无解、无穷多解?在有无穷多解时,求通解(用向量形式表示): 1 2 321 2 31 2 3424x x xx x xx x x 3. 设 W是 R22中由矩阵 1 2 1 12 1 1 0 3 1 1 1, , ,1 3 2 0 1 3 3 3A A A A 生成的子空间,求 W的基与维数。 4. 求一正交线性变换,将以下二次型化为标准型: 2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3( , , ) 4 4 4 .f x x x x x x x x x x x x 三 、 证明 题( 选做 2 小 题,每小 题 10 分,共 20 分) 1. 设 A与 B是 mn矩阵, 证明 : 秩 (A+B) 秩 (A)+秩 (B). 2. 设 A 是线性空间 V上的线性变换, Ak1()0 而 Ak()=0,这里 k0。证明 : , A(), ., Ak1() 线性无关 。 3. 设 A为 n阶复矩阵, 其秩为 ()rA r 且 2AA . 证明: (1) A相似于一个对角矩阵。 (2) | | 2rAE 。