2013中国科学院大学考研真题之高等数学(乙).pdf
中国 科学 院大学 2013 年招 收攻 读硕 士学 位研 究生 入学 统一 考试 试题 科目 名称 :高 等数 学( 乙) 考 生须 知: 1 本试 卷满 分为 150 分,全 部 考试 时间 总计 180 分钟 。 2所 有答 案必 须写 在答 题 纸上, 写在 试题 纸上 或草 稿纸上 一律 无效 。 一、选择题 (本 题满分40 分,每 小题5 分 。请 从题 目所列 的选 项中 选择 一个 正确项 填充 空 格。 每 题的 四个 备选 项中 只有一 个是 正确 的, 不选 、 错选 或多 选均 不得 分。 请将你 的选 择标 清题号 写在 考场 发的 答题 纸上, 直接 填写 在试 题上 无效。) (1)下 列极 限中 不为 0 的是 ( )。 (A) lim ! n n e n +(B) 11 lim sin ln(1 ) n n nn + +(C) 1 lim arctan n n n + (D) sin lim n n n +(2) 2 4 sec 2 tan lim 1 cos 4 x xx x + =( )。 (A)0 (B) 1 2(C )1 (D)2 (3) 以下关 于函 数 2 6 1 ( 3) x y x = + + 的叙述 正确 的是( )。 (A) 函 数图 像有 唯一 渐近线(B) 函数 在 ( 3, 3) 上是单 调 减的 (C) 函 数图 像没 有拐点 (D) 3 2 是 函数 最大 值 (4) 设 L 是由 曲线 1(0 1) yx x += , 1( 1 0) yx x = 和 0( 1 1) yx = 依次 连接构 成的 曲线 , 方向 为 逆时针 。 则曲 线积 分 22 ( )2 L x y dx xydy += ( )。 (A)0 (B) 2 3(C ) 4 3(D) 8 3科目名称:高等数学(乙) 第1 页 共3 页 (5)设 函数 2 1 ( ) , ( 1,1) n n x fx x n = = ,则 ( ) fx = ( )。 (A) 2 2 1 x x (B ) 2 2 1 x x (C) 2 2 1 x x +(D) 2 2 1 x x +(6) 设 () fx 是定义 在整 个实 轴 R 上的连续 函数 ,下列 说法 正确的 是( )。 (A) 若 () fx 是 一个 偶函 数,则 它的 原函数 是一个 奇函 数 (B) 若 () fx 是一 个奇 函数 ,则 它的 原函数 是一个 偶函数 (C) 若 () fx 是 一个 周期 函数 ,则 它的原函 数也是 一个 周期 函数 (D) 若 () fx 是 一个 单调 函数 ,则 它 的原函 数也是 一个 单调 函数 (7 ) 设 D 是 2 R 上包含原点的一个区域, (, ) f xy 是 定义在 D 上的连续函数。如果极限 22 2 0 0 1 (, ) lim 1 (, ) x y xy f x y x y f xy + + 存在且 有限 ,则 (0,0) f = ( ) 。 (A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 (8 ) 过点 (0,1, 0) ,并且与 ( 1 ,0,0) , (1,1, 0) , ( 1, 0, 2) 所 确定 的 平面垂直的直线是 ( )。 (A ) 111 xyz = = (B) 1 10 1 xy z = = (C) 1 11 1 xy z = = (D ) 1 101 xy z = = 二、( 本题满分 10 分) 设 函数 () fx 在 , ab 上 存在二阶导 数 ,连接点 ( , ( ) Aa f a 与点 ( , ( ) Bb f b 的线段 与曲 线 ( , ( ) xfx 相交于 点 ( , ( ) Cc f c ,这 里 acb 。证 明 :在 (,) ab 上存在 一点 , 满足 ( ) 0 f = 。 三、( 本题满分 10 分) 设函数 ( ( , , ), ( , , ) u f sxyz txyz = , 其中 (, ,) sxyz x y z =+ , 2 22 (, ,) txyz x y z =+ ,并且 函数 (,) f st 存在 二阶 连续 偏导数 。证 明: 222 2 2 2 222 3 4( ) 4( ) 6 222 2 2 uuu f f f f xyz x y z st t xyz s t + + = + + + + + + 。 科目名称:高等数学(乙) 第2 页 共3 页 四、(本题满分10 分)求函数 22 (, ) 4 f x y x xy y =+在圆 域 22 1 xy +上的 最大 值和最 小值。 五、(本题满分10 分) 设 () fx 是, ab 上连续 的单 调非 减函 数。 证明: 对 , , c ab () () 2 cc aa ac xf x dx f x dx + 。 六、(本题满分10 分) 计 算球面 2 22 1 xyz += 被圆 柱面 22 1 4 xy += 所截部 分 (即在 圆柱 面内部 的 部分 ) 的面 积。 七、(本题满分10 分) 计算 线 积分 | L I x yds = , L 是 22 1 yx = 在 0 y = 和 2 y = 之 间的 部分 。 八、(本题满分10 分) 求解 常 微分 方程 22 ( 3) 2 0 y x dy xydx += 。九、 ( 本题满分 10 分) 设 () fx 是定义在实数 R 上以 2 为基本周期的周期函数,且在 (0, 2 ) 上 , () 2 x fx = , 应用 函数 () fx 的 Fourier 级数 展开 证明 : 1111 1 4 3579 + = 。 十、( 本题满分 10 分) 设函数 3 () ln(2 ) ln( 1) , (1,2) 1 ft t t t t = + + + 。证明:对 x R ,都存 在唯 一的 ( 1, 2) t , 使得 () ft x = 。 十一、( 本题满分 10 分) 设 函数 () fx 在 0, 2 上 存在二阶连续导数 ,且满足: ( ) cos ( ) f x x fx = + , ( ) fx 在0, 2 上的最 大值 为2 , (0) 0 f = 。求 () fx 。 十二、(本题满分 10 分) 设 22 2 ( , ) | 1 D xy x y = + R , (, ) f xy 是 D 上 的连 续函 数, 并且在 (0,0) D 上存在 连 续的 一阶 偏导数。 又设 12 (,), (,) g xy g xy 是 D 上 的 连续函 数,且 满足 在 (0, 0) D 上, 12 , ff gg xy = = 。证明 : 12 0, 0 0, 0 (0, 0), (0, 0) xy xy ff gg xy = = = = = = 。 科目名称:高等数学(乙) 第3 页 共3 页