2012中国科学院大学考研真题之高等数学(乙).pdf
1中国科学院研究生院 2012年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 科目名称:高等数学(乙) 考生须知: 1本试卷满分为150分,全部考试时间总计180分钟。 2所有答案必须写在答题纸上,写在试题纸上或草稿纸上一律无效。 一、选择题(本题满分40分,每小题5分。请从每个题目所列的四个选项中选择一个适合放在空格中的项,并将你的选择标清题号写在考场发的答题纸上,直接填写在试题上无效。每题的四个备选项中只有一个是正确的,不选、错选或多选均不得分。) (1) 设函数 ( )f x 在 0x 处可导且导函数连续,0( ) 2lim 13 sinxf xx x ,则 (0)f ( )。 (A)1 (B) 1 (C)2 (D) 2 (2) 已知 ( ) 2f ,0 ( ) ( )sin 5f x f x xdx ,则 (0)f ( )。 (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 (3) 22( 1)x dxx x = ( )。 (A) 1ln 1 1x Cx x (B) 2 1ln| 1| 1x Cx x (C) 2ln 1 1x Cx x (D) 221ln(1 ) 1x Cx x (4)设函数 ( , )F x y 关于 x 和 y 有一阶偏导数,且 (0,0) 1xF , (0,0) 2yF ,令( , ), arctan , sinuz F u v ve u t v t ,则 0tdzdt ( )。 (A) 1 (B) 0 (C) 2 (D) 1 (5) 已知函数 )(xfy 对一切x满足 2( ) 3 ( ) 1 xxf x x f x e ,若 0 0( ) 0( 0)f x x 则 ( )。 (A) )( 0xf 是 )(xf 的极大值 (B) )(,( 00 xfx 是曲线 )(xfy 的拐点 (C) )( 0xf 是 )(xf 的极小值 (D) )( 0xf 不是 )(xf 的极值 科目名称:高等数学(乙) 第1页 共3页 2(6) 设闭曲线 2 2: ( 1) 2L x y 取逆时针方向,则曲线积分 2 2( 1)Lxdy ydxx y null ( )。 (A) (B) 2 (C) 2 (D) 2 2 (7) 使得积分 10sin ( 0)x dxx 收敛的的最大取值范围是( )。 (A)0 2 (B)0 1 (C) 2 (D) 1 (8) 下列级数收敛的是( )。 (A)21lnn n n (B) 1 1 1 1 1 1 11 2 3 4 5 6 7 8 (C) 21( 1) sin 1nnnn n (D)211 1(1 )2nnn n 二、(本题满分10分) 求微分方程 22 2 4y y y t 的通解。 三、(本题满分 10 分) 设 0),( yyxD , 122 yx , 2 2 2 x y x ,计算二重积分Dxydxdy 。 四、(本题满分10分) 设在三维空间中某平面满足:(1)与xy坐标平面垂直,(2)过z轴,(3)与 2 2 2( 2) ( 2) 1x y z 相切,求该平面的方程。 五、(本题满分10分) 设1( ) nnnf x a x ,其中 na 满足 1 1nna 。求120( )f x dx 。 六、(本题满分10分) 计算曲线积分 2 2 2 2ln( 1) ln( 1)LI x x y dx y x y dy ,其中曲线L是定义域内第一象限(含坐标轴)中从点(2,0)到(0,2)的分段光滑曲线。 七、(本题满分 10 分) 设曲面为 2 2( , , )| (0 1)x y z z x y z 的外侧,求曲面积分2x dydz 。 八、(本题满分 10 分) 求曲面 1xyz 上在第一卦限内,距离坐标原点最近的点处的切平面方程。 九、(本题满分10分) 求微分方程 2 2( ) lnyy y y y 的通解。 十、(本题满分10分) 设函数 ( )f x 在区间 , A B 上连续但不一定可导,A a b B 。证明:0( ) ( )lim ( ) ( )bahf x h f x dx f b f ah 。 科目名称:高等数学(乙) 第2页 共3页 3十一、(本题满分 10 分)设函数 ( )f x 在 , a b 上连续,在( , )a b 上有二阶导数。证明:存在( , )c a b 使得2( ) 2 ( ) ( )2 2a b b af a f f b f c 。 十二、(本题满分 10 分) 设 ( )f x 在 , a b 上连续,且 ( ) 0baf x dx , ( ) 0baxf x dx 。证明:在( , )a b 上至少有两点 1 2,x x ,使得 1 2( ) ( ) 0f x f x 。 科目名称:高等数学(乙) 第3页 共3页