2019年辽宁大学考研专业课数学院硕士研究生考试大纲.pdf
数 学 分 析 考 试 大 纲1.函 数1.1 掌 握 实 数 概 念 及 其 基 本 性 质 。 掌 握 实 数 绝 对 值 的 概 念 和 有 关 的 不 等 式 。1.2 掌 握 邻 域 概 念 , 掌 握 确 界 定 理 。1.3 掌 握 函 数 的 概 念 及 各 种 表 示 方 法 ,掌 握 复 合 函 数 和 反 函 数 的 概 念 。1.4 掌 握 有 界 函 数 与 无 界 函 数 、 单 调 函 数 、 奇 函 数 和 偶 函 数 、 周 期 函 数 等 概 念 。1.5 掌 握 六 类 基 本 初 等 函 数 的 定 义 和 性 质 。1.6 掌 握 常 用 的 几 个 非 初 等 函 数 , 如 符 号 函 数 , 狄 利 克 雷 函 数 等 。2. 数 列 极 限2.1 掌 握 数 列 极 限 的 的 定 义 , 会 使 用 “ 语 言 ” 证 明 数 列 的 极 限 。2.2 正 确 理 解 和 掌 握 收 敛 数 列 的 性 质 。2.3 掌 握 单 调 有 界 原 理 ,致 密 性 定 理 及 Cauchy收 敛 准 则 。3. 函 数 极 限3.1 掌 握 函 数 极 限 的 M 和 定 义 。3.2 掌 握 函 数 极 限 的 性 质 。3.3 掌 握 函 数 极 限 存 在 的 条 件 , 掌 握 归 结 原 则 及 柯 西 准 则 。3.4 掌 握 重 要 极 限 1sinlim0 x xx 和 1lim(1 )xx ex 及 其 应 用 。3.5 正 确 理 解 和 掌 握 无 穷 大 和 无 穷 小 的 概 念 及 无 穷 小 的 阶 。4. 函 数 的 连 续 性4.1 掌 握 连 续 函 数 的 概 念 , 掌 握 间 断 点 及 其 分 类 。4.2 掌 握 连 续 函 数 的 局 部 性 质 ,掌 握 闭 区 间 上 连 续 函 数 的 性 质 。4.3 掌 握 反 函 数 的 连 续 性 ,掌 握 函 数 的 一 致 连 续 性 。4.4 掌 握 初 等 函 数 在 其 定 义 域 上 的 连 续 性 。5. 导 数 与 微 分5.1 掌 握 导 数 的 概 念 及 其 几 何 意 义 。5.2 掌 握 求 导 法 则 ,掌 握 参 变 量 函 数 的 导 数 法 则 , 掌 握 高 阶 导 数 的 求 法 。5.3 掌 握 微 分 的 概 念 及 其 几 何 意 义 。5.4 掌 握 微 分 的 运 算 法 则 ,了 解 高 阶 微 分 ,了 解 微 分 在 近 似 计 算 中 的 应 用 。6. 微 分 中 值 定 理 及 其 应 用6.1 熟 练 掌 握 中 值 定 理 的 条 件 、 结 论 和 证 明 方 法 。6.2 掌 握 不 定 式 极 限 的 求 法 ,熟 练 掌 握 洛 必 达 法 则 及 其 应 用 。6.3 掌 握 泰 勒 公 式 , 掌 握 用 多 项 式 逼 近 函 数 的 思 想 。6.4 会 分 析 函 数 的 性 态 ,会 求 函 数 的 单 调 区 间 和 极 值 , 会 判 断 函 数 的 凸 性 和 拐 点 ,会 较 完 善 地 作 出 函 数 的 图 形 。7. 实 数 的 完 备 性7.1 理 解 区 间 套 概 念 , 能 熟 练 使 用 区 间 套 定 理 。7.2 掌 握 聚 点 概 念 及 各 种 等 价 定 义 , 能 熟 练 使 用 聚 点 定 理 。7.3 理 解 ( 开 ) 覆 盖 的 定 义 并 且 会 用 集 合 术 语 表 达 , 体 会 如 何 构 造 开 覆 盖 并 且 会用 开 覆 盖 定 理 。7.4 知 晓 实 数 完 备 性 的 六 种 等 价 说 法 及 其 证 明 。8. 原 函 数 与 不 定 积 分8.1 掌 握 原 函 数 定 义 及 唯 一 性 ( 不 计 常 数 ) 。8.2 掌 握 不 定 积 分 的 定 义 、 性 质 。8.3 熟 练 使 用 换 元 公 式 和 分 部 积 分 公 式 。8.4 了 解 有 理 函 数 不 定 积 分 的 计 算 方 法 。8.5 了 解 某 些 其 它 类 型 不 定 积 分 的 计 算 方 法 。9. 定 积 分 ( Riemann 积 分 )9.1 深 入 理 解 定 积 分 概 念 及 其 产 生 背 景 。9.2 熟 练 掌 握 可 积 性 的 判 别 准 则 及 可 积 函 数 类 。9.3 熟 练 掌 握 定 积 分 的 性 质 及 积 分 中 值 定 理 。9.4 重 点 掌 握 微 积 分 学 基 本 定 理 和 Newton-Leibniz公 式 。9.5 熟 练 使 用 定 积 分 工 具 解 决 几 何 、 物 理 和 学 科 的 问 题 。10. 反 常 积 分10.1 深 入 理 解 反 常 积 分 概 念 及 其 产 生 背 景 。10.2 熟 练 使 用 反 常 积 分 的 收 敛 判 别 法 。11. 数 项 级 数11.1 深 入 理 解 数 项 级 数 的 概 念 及 其 产 生 背 景 。11.2 直 观 理 解 绝 对 收 敛 和 条 件 收 敛 概 念 。11.3 熟 练 使 用 正 项 级 数 和 一 般 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 。12. 函 数 列 、 函 数 项 级 数 和 幂 级 数12.1 深 入 理 解 逐 点 收 敛 和 一 致 收 敛 概 念 , 重 点 在 一 致 收 敛 。12.2 熟 练 使 用 一 致 收 敛 的 Cauchy准 则 及 收 敛 判 别 法 。12.3 掌 握 一 致 收 敛 函 数 列 ( 函 数 项 级 数 ) 之 极 限 函 数 ( 和 函 数 ) 的 分 析 性 质 ,即 连 续 性 、 可 积 性 、 可 微 性 。12.4 能 熟 练 求 出 一 个 幂 级 数 的 收 敛 半 径 、 收 敛 区 间 和 收 敛 域 。12.5 熟 知 幂 级 数 在 其 收 敛 区 间 上 的 性 质 (内 闭 一 致 收 敛 性 、 连 续 性 、 逐 项 可 积 和逐 项 可 导 性 ) 。12.6 掌 握 将 光 滑 函 数 展 为 幂 级 数 的 基 本 方 法 。13. 傅 里 叶 ( Fourier) 级 数13.1 深 入 理 解 傅 里 叶 级 数 及 其 产 生 的 物 理 背 景 。13.2 会 做 一 个 可 积 函 数 的 傅 里 叶 级 数 。13.2 掌 握 三 角 函 数 系 的 正 交 性 、 Bessel不 等 式 和 Riemann-Lebesgue引 理 。13.4 了 解 有 关 傅 里 叶 级 数 收 敛 性 的 一 些 结 果 。14. 多 元 函 数 微 分 学14.1掌 握 平 面 点 集 的 一 些 概 念 : 邻 域 、 内 点 、 界 点 、 聚 点 、 区 域 、 闭 区 域 、 有 界区 域 、 无 界 区 域 等 。14.2掌 握 二 元 函 数 和 二 元 函 数 极 限 的 定 义 ,弄 清 二 重 极 限 与 累 次 极 限 的 区 别 及 其联 系 。14.3 掌 握 二 元 连 续 函 数 的 定 义 以 及 性 质 。14.4 理 解 可 微 性 的 条 件 、 几 何 意 义 及 应 用 。14.5 熟 练 计 算 偏 导 数 和 高 阶 偏 导 数 。14.6 了 解 方 向 导 数 与 梯 度 的 定 义 。14.7 会 运 用 泰 勒 公 式 解 决 极 值 问 题 。15. 隐 函 数15.1理 解 隐 函 数 的 概 念 及 存 在 性 的 条 件 。15.2了 解 隐 函 数 组 的 概 念 及 定 理 并 掌 握 几 何 运 用 。15.3掌 握 条 件 极 值 的 求 法 。16.含 参 变 量 的 积 分16.1 掌 握 含 参 量 正 常 积 分 及 反 正 常 积 分 。16.2 掌 握 一 致 收 敛 的 判 别 法 。16.3 理 解 欧 拉 积 分 并 会 应 用 。17. 重 积 分17.1 掌 握 二 重 积 分 的 概 念 , 理 解 二 重 积 分 的 可 积 函 数 类 与 性 质 。17.2 掌 握 二 重 积 分 的 计 算 , 掌 握 二 重 积 分 的 变 量 变 换 和 二 重 积 分 的 应 用 。17.3 掌 握 三 重 积 分 的 概 念 。17.4 掌 握 三 重 积 分 的 计 算 , 掌 握 三 重 积 分 的 变 量 变 换 和 应 用 。18. 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分18.1 正 确 理 解 第 一 型 曲 线 积 分 和 第 二 型 曲 线 积 分 的 概 念 。18.2 掌 握 第 一 型 曲 线 积 分 和 第 二 型 曲 线 积 分 的 计 算 。18.3 会 运 用 格 林 公 式 和 积 分 与 路 径 无 关 的 条 件 解 决 问 题 。18.4 正 确 理 解 第 一 型 曲 面 积 分 和 第 二 型 曲 面 积 分 的 概 念 。18.5 掌 握 第 一 型 曲 面 积 分 和 第 二 型 曲 面 积 分 的 计 算 。18.6 会 运 用 高 斯 公 式 和 斯 托 克 斯 公 式 。18.7 了 解 场 的 概 念 和 各 种 场 。 高 等 代 数 考 试 大 纲1. 行 列 式1.1了 解 排 列 的 概 念 及 性 质 。1.2 熟 练 掌 握 行 列 式 的 概 念 、 性 质 。1.3 掌 握 行 列 式 的 计 算 方 法 。1.4 熟 悉 克 拉 姆 法 则 。1.5 对 矩 阵 及 矩 阵 的 初 等 变 换 有 初 步 的 了 解 。2. 线 性 方 程 组2.1 掌 握 n维 向 量 及 n维 向 量 空 间 的 概 念 , 熟 练 掌 握 向 量 的 运 算 。2.2 熟 练 掌 握 向 量 组 的 线 性 相 关 性 , 理 解 向 量 组 的 极 大 无 关 组 。2.3 深 刻 理 解 向 量 组 的 秩 和 矩 阵 的 秩 的 定 义 , 掌 握 矩 阵 秩 的 计 算 方 法 。2.4 熟 练 掌 握 线 性 方 程 组 的 有 解 判 别 定 理 。2.5 正 确 理 解 和 掌 握 齐 次 线 性 方 程 组 的 基 础 解 系 的 概 念 和 计 算 方 法 , 熟 练 掌 握 线性 方 程 组 的 解 的 结 构 定 理 , 会 求 解 线 性 方 程 组 。3. 矩 阵3.1 了 解 矩 阵 概 念 的 一 些 背 景 。3.2 熟 练 掌 握 矩 阵 的 运 算 及 运 算 律 。3.3 掌 握 矩 阵 乘 积 的 行 列 式 定 理 , 矩 阵 乘 积 的 秩 与 它 的 因 子 的 秩 的 关 系 。3.4 深 入 理 解 矩 阵 可 逆 、 逆 矩 阵 、 伴 随 矩 阵 等 概 念 , 掌 握 方 阵 可 逆 的 充 要 条 , 会用 件 公 式 法 求 矩 阵 的 逆 矩 阵 。3.5 理 解 分 块 矩 阵 的 意 义 , 掌 握 分 块 矩 阵 的 运 算 及 性 质 。3.6 正 确 理 解 和 掌 握 初 等 矩 阵 、 初 等 变 换 的 概 念 及 它 们 的 关 系 , 熟 练 掌 握 利 用 初等 变 换 方 法 求 矩 阵 的 逆 矩 阵 。3.7 了 解 分 块 乘 法 的 初 等 变 换 , 会 将 矩 阵 分 块 与 初 等 变 换 结 合 进 行 矩 阵 运 算 。4. 二 次 型4.1正 确 理 解 二 次 型 非 退 化 线 性 替 换 的 概 念 , 掌 握 二 次 型 的 矩 阵 表 示 , 掌 握 矩 阵合 同 的 概 念 与 性 质 。4.2 掌 握 化 二 次 型 为 标 准 形 的 方 法 。4.3 深 刻 理 解 对 称 矩 阵 与 二 次 型 的 关 系 , 掌 握 对 称 矩 阵 的 性 质 。4.4 掌 握 惯 性 定 理 , 熟 练 掌 握 正 定 二 次 型 的 等 价 条 件 。4.5 掌 握 半 正 定 二 次 型 的 等 价 条 件 。5. 线 性 空 间5.1 掌 握 集 合 与 映 射 的 相 关 概 念 。5.2 熟 练 掌 握 线 性 空 间 及 其 基 于 维 数 等 相 关 概 念 。5.3 会 求 线 性 空 间 的 基 与 维 数 。5.4 掌 握 基 变 换 与 坐 标 变 换 的 公 式 , 。5.5 熟 练 掌 握 线 性 子 空 间 的 概 念 及 其 判 定 方 法 。5.6 掌 握 子 空 间 的 交 与 和 的 定 义 及 性 质 , 熟 练 掌 握 维 数 公 式 。5.7 深 刻 理 解 子 空 间 的 直 和 的 概 念 , 掌 握 判 定 直 和 的 充 要 条 件 。5.8 理 解 并 掌 握 线 性 空 间 同 构 的 定 义 、 性 质 及 有 限 维 空 间 同 构 的 充 要 条 件 。6. 线 性 变 换6.1 理 解 并 掌 握 线 性 变 换 的 定 义 及 性 质 。6.2 掌 握 线 性 变 换 的 运 算 及 运 算 律 , 理 解 线 性 变 换 的 多 项 式 。6.3 掌 握 线 性 变 换 与 矩 阵 的 关 系 , 掌 握 矩 阵 相 似 的 概 念 及 性 质 。6.4 理 解 并 掌 握 矩 阵 的 特 征 值 、 特 征 向 量 、 特 征 多 项 式 的 概 念 及 性 质 , 会 求 矩 阵的 特 征 值 和 特 征 向 量 , 掌 握 哈 密 尔 顿 -凯 莱 定 理 。6.5 掌 握 线 性 变 换 的 值 域 与 核 的 概 念 及 相 关 理 论 。6.6 了 解 不 变 子 空 间 与 线 性 变 换 矩 阵 化 简 之 间 的 关 系 。7. 欧 几 里 得 空 间7.1 深 刻 理 解 并 掌 握 欧 几 里 得 空 间 的 基 本 概 念 和 理 论 。7.2 掌 握 向 量 的 内 积 和 向 量 的 度 量 性 质 。7.3 正 确 理 解 正 交 向 量 组 、 标 准 正 交 基 的 概 念 , 掌 握 施 密 特 正 交 化 方 法 。7.4 理 解 并 掌 握 正 交 变 换 的 概 念 与 等 价 条 件 , 掌 握 正 交 变 换 与 向 量 长 度 、 标 准 正交 基 以 及 正 交 矩 阵 的 关 系 。7.5 理 解 两 个 子 空 间 正 交 的 概 念 , 掌 握 正 交 与 直 和 的 关 系 。7.6 熟 练 掌 握 实 对 称 矩 阵 的 进 一 步 性 质 。8. 多 项 式8.1 了 解 多 项 式 的 定 义 与 基 本 运 算 。8.2 掌 握 多 项 式 整 除 的 概 念 、 性 质 与 带 余 除 法 。8.3 掌 握 最 大 公 因 式 的 概 念 、 存 在 性 与 求 法 ,掌 握 多 项 式 互 素 的 概 念 与 相 关 性 质 。8.4 掌 握 不 可 约 多 项 式 的 概 念 、 性 质 。8.5 了 解 因 式 分 解 定 理 以 及 复 系 数 与 实 系 数 多 项 式 的 因 式 分 解 定 理 。8.6 了 解 重 因 式 的 概 念 以 及 多 项 式 有 重 因 式 的 充 要 条 件 。8.7 了 解 多 项 式 函 数 的 概 念 、 余 数 定 理 、 代 数 基 本 定 理 。8.8 掌 握 求 有 理 系 数 多 项 式 的 全 部 有 理 根 的 方 法 以 及 Eisenstein判 别 法 。9. 矩 阵9.1 了 解 矩 阵 的 定 义 、 矩 阵 的 初 等 变 换 、 矩 阵 的 标 准 形 以 及 矩 阵的 行 列 式 因 子 、 不 变 因 子 等 概 念 , 了 解 矩 阵 等 价 的 充 要 条 件 ,掌 握 用 初等 变 换 将 矩 阵 化 为 标 准 形 的 方 法 。9.2 掌 握 矩 阵 初 等 因 子 的 概 念 、 求 法 以 及 数 字 矩 阵 相 似 的 充 要 条 件 。9.3 了 解 矩 阵 的 Jordan标 准 形 以 及 有 理 标 准 形 的 概 念 , 掌 握 矩 阵 的 Jordan标 准形 的 求 法 , 了 解 矩 阵 有 理 标 准 形 的 求 法 。 常 微 分 方 程 考 试 大 纲1. 初 等 积 分 法1.1 掌 握 微 分 方 程 与 解 的 基 本 定 义 , 认 识 常 微 分 方 程 课 程 的 整 体 结 构 。1.2 掌 握 分 离 变 量 法 , 会 用 该 方 法 求 解 变 量 可 分 离 方 程 。1.3 掌 握 两 类 可 转 化 为 可 分 离 变 量 形 式 微 分 方 程 的 解 法 , 重 点 掌 握 齐 次 方 程 解 法 。1.4 掌 握 一 阶 线 性 常 微 分 方 程 的 解 法 常 数 变 易 法 , 会 用 该 方 法 求 解 非 齐 次 方程 。1.5 掌 握 全 微 分 方 程 及 积 分 因 子 的 基 本 概 念 , 掌 握 全 微 分 方 程 求 解 法 , 会 用 积 分因 子 法 将 非 全 微 分 方 程 转 化 为 全 微 分 方 程 。1.6 掌 握 参 数 法 求 解 一 阶 隐 式 微 分 方 程 , 具 体 会 解 4 种 形 式 的 一 阶 隐 式 微 分 方程 。1.7 掌 握 几 种 可 降 阶 的 高 阶 方 程 的 解 法 。1.8 介 绍 一 阶 微 分 方 程 应 用 举 例 1.等 角 轨 线 ; 2.在 动 力 学 中 的 应 用 。2. 基 本 定 理2.1 了 解 微 分 方 程 定 性 理 论 的 发 展 背 景 , 掌 握 微 分 方 程 解 的 几 何 意 义 。2.2 重 点 掌 握 解 的 存 在 性 与 唯 一 性 定 理 , 理 解 定 理 条 件 。2.3 掌 握 可 延 展 解 与 不 可 延 展 解 的 定 义 , 掌 握 不 可 延 展 解 的 存 在 定 理 和 性 质 。2.4 掌 握 奇 解 概 念 及 求 解 奇 解 的 方 法 。 掌 握 包 络 的 概 念 及 求 解 包 络 的 方 法 。 掌 握克 莱 洛 方 程 的 类 型 及 求 解 方 法 。2.5 掌 握 解 对 初 值 的 连 续 依 赖 性 和 解 对 初 值 的 可 微 性 。3. 一 阶 线 性 微 分 方 程 组3.1 掌 握 线 性 微 分 方 程 组 的 一 般 理 论 及 微 分 方 程 组 所 有 解 的 代 数 结 构 。3.2 掌 握 齐 线 性 微 分 方 程 组 的 基 解 矩 阵 。3.3 掌 握 非 齐 方 程 组 的 常 数 变 易 法 。3.4 掌 握 运 用 特 征 根 求 解 常 系 数 齐 线 性 微 分 方 程 组 的 基 解 矩 阵 。 常 系 数 非 齐 次 线性 微 分 方 程 组 的 通 解 公 式 。3.5 掌 握 常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方 程 组 的 基 解 矩 阵 为 xAex )( 。4 n 阶 线 性 微 分 方 程4.1 掌 握 n阶 线 性 齐 次 方 程 的 一 般 理 论 , 包 括 通 解 结 构 、 基 本 解 组 的 概 念 ; 掌 握非 齐 次 线 性 微 分 方 程 的 通 解 结 构 , 已 知 齐 次 方 程 通 解 会 运 用 常 数 变 易 法 求 非齐 方 程 通 解 。4.2 重 点 n阶 常 系 数 线 性 齐 次 方 程 解 法 , 即 运 用 特 征 方 程 的 特 征 根 求 解 n阶 常 系数 齐 线 性 方 程 的 通 解 。4.3 掌 握 系 数 比 较 法 求 解 n阶 常 系 数 线 性 非 齐 次 方 程 的 运 算 技 巧 。4.4 理 解 二 阶 常 系 数 线 性 方 程 与 振 动 现 象 的 关 系 。4.5 了 解 拉 普 拉 斯 变 换 。5.常 微 分 方 程 解 的 稳 定 性 介 绍5.1 掌 握 常 微 分 方 程 解 稳 定 性 概 念 ,及 稳 定 性 的 判 定 方 法 。5.2 掌 握 李 雅 普 诺 夫 第 二 方 法 。5.3 了 解 平 面 自 治 系 统 基 本 概 念 , 了 解 某 些 平 面 定 性 理 论 。 复 变 函 数 考 试 大 纲1. 复 数 及 其 几 何 表 示1.1 掌 握 复 数 及 其 运 算 , 掌 握 复 数 域 概 念 。1.2 掌 握 复 数 的 几 种 表 示 方 法 。1.3 掌 握 复 数 的 球 极 射 影 、 复 球 面 、 无 穷 大 及 扩 充 的 复 平 面 等 概 念 。1.4 掌 握 内 点 、 聚 点 、 边 界 点 、 开 集 、 闭 集 及 紧 集 等 复 平 面 拓 扑 概 念 。1.5 掌 握 简 单 曲 线 及 光 滑 曲 线 概 念 ,掌 握 若 尔 当 定 理 。2. 复 变 函 数2.1 掌 握 复 变 函 数 以 及 复 变 函 数 的 极 限 、 连 续 、 可 微 和 解 析 等 概 念 。2.2 熟 练 掌 握 柯 西 黎 曼 条 件 。2.3 掌 握 辐 角 函 数 ,了 解 多 值 函 数 。2.4 掌 握 支 点 概 念 , 掌 握 指 数 函 数 、 对 数 函 数 、 幂 函 数 及 三 角 函 数 等 初 等 函 数 。3. 复 变 函 数 的 积 分3.1 掌 握 复 变 函 数 积 分 的 定 义 及 性 质 。3.2 掌 握 多 边 形 区 域 周 界 的 积 分 性 质 , 掌 握 积 分 与 原 函 数 的 关 系 。3.3 熟 练 掌 握 柯 西 定 理 。3.4 熟 练 掌 握 柯 西 公 式 并 会 运 用 该 公 式 进 行 积 分 计 算 。3.5 掌 握 莫 雷 拉 定 理 。4. 级 数4.1 掌 握 级 数 和 数 列 的 基 本 性 质 ,掌 握 复 数 项 级 数 和 复 数 序 列 的 收 敛 性 及 收 敛 的条 件 。4.2 掌 握 幂 级 数 的 收 敛 性 , 掌 握 幂 级 数 的 收 敛 半 径 的 求 法 。4.3 掌 握 解 析 函 数 的 泰 勒 展 式 ,掌 握 解 析 函 数 泰 勒 展 式 的 唯 一 性 。4.4 掌 握 解 析 函 数 的 零 点 、 零 点 的 阶 及 零 点 的 孤 立 性 。4.5 掌 握 解 析 函 数 的 洛 朗 展 式 和 洛 朗 级 数 , 掌 握 洛 朗 展 式 的 唯 一 性 。4.6 掌 握 解 析 函 数 的 孤 立 奇 点 , 掌 握 孤 立 奇 点 的 判 别 方 法 。4.7 掌 握 解 析 函 数 在 无 穷 远 点 的 性 质 。5. 留 数5.1 掌 握 留 数 概 念 及 留 数 定 理 ,掌 握 留 数 的 计 算 方 法 。