2016年华南理工大学研究生入学考试专业课真题630_量子力学.docx
第 1 页630华南理工大学2016 年攻读硕士学位研究生入学考试试卷( 试 卷 上 做 答 无 效 , 请 在 答 题 纸 上 做 答 , 试 后 本 卷 必 须 与 答 题 纸 一 同 交 回 ) 科目名称:量子力学适用专业:凝聚态物理本试卷共 5 大题,每题 30 分,总分 150 分共 2 页1.(1) 对自由粒子,下面哪些力学量是守恒量,并给出证明。(a) 动 量 , ( b) 能 量 , (c) 角动量,(c) 角动量平方,(d) 宇 称(2) 在变分法近似理论中,证明对任意选择的归一化试探波函数,H 的期望值必高 于基态能量。2. 一质量为 m 的粒子在如下势阱中运动:V (x, y, z)=V(x)+ V(y)+ V(z)V0 ,V (x) 0,V0 ,V ( y) 0,V0 ,V (z) 如 果 x a / 2如 果 x a / 2如 果 y b / 2如 果 x b / 2如 果 z c / 20, 如 果 z c / 2求 V0 E 0 下的能量本征值和本征函数。3. 有一个定域电子,只考虑自旋,它受到均匀磁场的作用,磁场 B 指向正 x 方向。 磁作用势为H eB sc x e B , 2c x设 t 0 时 电 子 的 自 旋 “向 上 ”, 即 s , (1) 用含时薛定谔方程求 t 0 时的波函数z 2第 2 页2an2 2 2E nt ; (2) 求在 t 状态下自旋的三个方向分量 sx , sy , sz 的平均值。4. 电荷为 q 的 自 由 谐 振 子 , 能 量 算 符 为 H p 2 1 m2 x2 , 能 量 本 征 函 数 记 为0 2m 2(0) (x),能 量 记 为 (0)n 。 如 外 加 均 匀 电 场 , 使 总 能 量 算 符 变 成p 2 1H m2 x2 -qx , 新 的 能 级 记 为 E , 本 征 函 数 记 为 (x) 。 用 微 扰 法 或 严0 2m 2 n n格解求解 n (x) 和 En ,并将 n (x) 用 n (0) (x) 表示出来。5. (a) 写出两个无相互作用的全同费米子处于 0 x1 a, 0 x2 a 的无限深方势阱时 的 哈 密 顿 量 。 (b)不 考 虑 自 旋 , 给 出 系 统 基 态 , 第 一 激 发 态 和 第 二 激 发 态 的 波 函 数 , 能量本征值,并确定其简并度。( 已 知 单 粒 子 态 为 (x) sin nx , E )a n 2ma2n