2016年华南理工大学研究生入学考试专业课真题864_高等代数.docx
864华南理工大学2016年攻读硕士学位研究生入学考试试卷( 请 在 答 题 纸 上 做 答 , 试 卷 上 做 答 无 效 , 试 后 本 卷 必 须 与 答 题 纸 一 同 交 回 )科 目 名 称 : 高 等 代 数适 用 专 业 : 基 础 数 学 , 应用数学, 计算数学, 概率论与数理统计 , 运筹学与控制论共 2页1. (15分 ) 设 f (x)和 g(x)都是数域 P 上的次数不小于 1的多项式 .证明 : (f (x), g(x) = 1当 且 仅 当 存 在 唯 一 的 多 项 式 u(x), v(x) P x 使得 u (x)f (x) + v(x)g (x) = 1, 这里 (u (x) (g (x)且 (v(x) (f (x).2. (15 分 ) 设 f (x) = a1 + a2x + + anxn1, 0, 1, ., n的n次单位根, 证明:1为 全 部D = =n1ni=0f (i).3. (20分 ) 设 A为 n阶方阵 , 满足 A2 = A. 证明:(1) r(A) + r(A E) = n;(2) r(Ak) + r(A E)l = n, 这里 k, 为任意自然数 .4. (15 分 ) 设 i = ci1x1 +ci2x2 + +cinxn, i = 1, 2, ., p+q, 这里 cij R. 试 证 明 实 二 次 型 f (x1, x2, ., xn) = 2 +2 + +2 2 21 2的正惯性指数 p, 负惯性指数 q.p p+1 p+q第 1 页a1 anan1a2 a1 ana3 a2 a1 an1 an2 an3an an1 an2 a3 a4 a5 a1 a2a2 a3 a4 an a15. (15分 ) 对 的不同的值判断下述方程组是否有 解 ? 当有解时求出全部的解 . (3 2)x1+ (2 )x2 +(2 )x1 + (2 )x2 +x1 + x2 +x3x3(2 )x3= ,= 1,= 1.6. (15分 ) 设矩阵 A = 2 13 10 13 0121400, 求 A 2016.1 17. (20分 ) 设 V = Rnx, 若 f (x) = ), ni=0 aixi, g(x) = ), n bixi V ,i=0规定内积 (f (x), g(x) = ), ni=0 aibi, 贝 V 为欧氏空间 . 令W = f (x) V | f (1) = 0 .(1) 证明 W 为 V 的子空间 , 决定其维数并举出它的一组标准正交基 ; (2) 举出 W 的一组标准正交基 .8. (20分 ) 设 R2中 的 线 性 变 换 A 在 基 1 = (1, 2), 2 = (2, 1)下 的 矩 阵为 1 2 2 3, 线 性 变 换 B 在 基 1 = (1, 1), 2 = (1, 2)下 的 矩 阵 为 3 3 2 4.(1) 求 A + B 在基 1, 2下的矩阵 ;(2) 求 A B 在基 1, 2下的矩阵 ;(3) 设 = (3, 3), 求 A 在基 1, 2下的坐标 ;(4) 求 B在基 1, 2下的坐标 .9. (15分 ) 设 A, B均 为 n阶 正 交 矩 阵 , 满 足 |A|+ |B| = 0. 证 明 : |A + B| = 0.第 2 页