中国科学院大学2020年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称：数学专业综合考生须知：1. 本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。2. 所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。试题总分值为540分，其中复分析、拓扑学、实分析、代数、微分几何、概率论各部分 试题小计分值均为90分。考生需在试题中任意选做分值和不超过150分的试题并明确标示。如果选做的试题分值和超过限制，判卷将按照所选做试题的题号顺序依次判卷直到所 做题目分值和超过限制的题目的前一题，后面所做试题视作无效考试内容。复分析1.(10 分)求将上半单位圆映为上半平面的共形映射。2.(10 分)求方程z4 - 5z + 1=0在单位圆内以及圆,z C : 1 < |z| < 2内根的个数。3.计算以下积分"(1) 扇=2 +2 .(2) 广+8 cosmx dx (m > 0)(2) Jo 1+2 dx (m > 0丿.(20 分)8 cosmx1+x24.(20分)设/(z)是整函数，且lim些 <r+8 rn科目名称：数学专业综合第4页共5页5.6.其中M(r) = max|z|=r |f(z)|o证明f(z)是次数不超过n的多项式"(15分)设/(z)是单位圆D到自身的解析函数。令:zw= z - wf *(zw) = fzfwW zw(E Dw = 1 wz，f (z，w) =z ， z，w 证明：|f*(z,w)| < 1，等号成立当且仅当/(z)是D上的共形映射。(15分)设f (z)在|z| < R上解析，且|f(z)| < M，f (0) = 0"证明当|z| < RR时，f (z)的零点个数不 超过拓扑学1. （15分）巳知拓扑空间之间的一个连续映射/ : X t Y.证明i）如果X紧致，则子空间/（X） C Y紧致；ii）如果X连通，则子空间/（X） C Y连通.2. （15分）对于拓扑空间X.考虑对角映射 : X t X x X, （x） = （x, x）, x G X.证明X满足第二分离性公理的充要条件是，子空间、顷）U X x X是闭子空间。3. （15分）设M是Mobius带，D是2维闭圆盘。i）将M沿它的中,剪开，得到什么曲面？ii）将M的边界dM = S1与D的边界dD = S1用圆周S的恒同映射粘接，得到什么曲面？iii）粘合空间M/dM同胚于哪个空间？4. （15分）画出,面T = S1 x S1,写出该曲面的基本群，并标明其生成元。5. （15分）写出两个空间同伦等价的定义。证明同伦等价的两个空间具有同构的同调群。6. （15分）证明Brouwer不动点定理：对于n维闭球体Dn的一个连续自映射/ : Dn t Dn,方 程/（x） = x, x G Dn,存在一个解。实分析1. （20分）假设凹是X上的正测度，f : X t 0, x是可测的，Jx f叩=c,其中0 < c < 8, a是一个常 数.证明：8 若 0 < a < 1,c 若 a = 1,0 若 1 < a < 8.2. （20分）设f是X上的复可测函数，#是X上的正测度.假定|f |云> 0,且对某个r < 8, |f |r < 8 成立.证明：当p T 8时，Ilf lip T|f |8.3. （15分）证明：在希尔伯特空间H中，每一个非空闭凸集E都包含唯一的一个具有最小范数的元素.4. （15分）假设 f : I t R1 是 AC 的，I = a,b,定义NF（x） = sup |f （圮f （ti-1 ）|（a < x < b）,i=1其中，上确界取遍所有的N及所有满足a = to < ti < < tN = x的序列",证明：f的全变差函数F，以及F + f, F - f均为I上非递减的绝对连续函数.5. (20分)设 f L1(0,+8), a > 0,证明：尸8广8广8f (y)sinax /f (y)e xy dydx = a /； dy.JoJoJo a + y代数1. (15分)设k = Fq为q元有限域，V为4维知,性空间。问题：V的二维k-子空间有多少个？2. (15分)设G为正方体的刚体变换群(即多有的保持正方体的空间刚体运动组成的群)。试证明：G = S4，四元全对称群。并写出该群在正方体上的作用决定的3维表示的特征标。3. (20分)什么是分裂域(splitting field)(2)设p为素数，q为p的方霊 k = Fp。则L是k上Xq - X的分裂域，当且仅当L为q元有限 域。特别地，所有q元有限域同构。4. (20分)试证明：整数,上的一元多项式代数ZX的素理想为：(1) (0)； (2) (p)，(p为素数)；(3) (f (X)，(f (X)为ZX中的不可约多项式)；(4) (p,f (X)，( p为素数，f (X)模p之后为FpX 中的不可约多项式)。5. (20分)设p为素数，G为有限群。P为G的Sylow p-子群。N = NG(P)。这里，Ng(H) = g G | gHg-1 = H则 N = Ng(N)"微分几何1. (15分)(1)判断球面 r = r(u, v) = (a cos u cos v, a cos u sin v, a sin u), n/2 < u < n/2, 0 < v < 2n 能 否与一平面区域建立起等距变换并说明理由。(2)证明高斯曲率K三0的连通极小曲面必为平面的一部分。2. (25分)设a > 0, b = 0为常数。考查曲面片r = r(u, v) = (a cos u, a sin u, bv),0 < u < 2n, 8 < v < +8,上的曲,Y(t) = (a cos t, a sin t, bt), 0 < t < 2n.(1) 求曲,y的曲率和挠率。(2) 设to (0, 2n).求曲面在y(to)处沿切向量Y(to)的法曲率。(3) 判断曲,Y是否为曲面上的测地,并说明理由。3. (20分)在球面 r = r(u, v) = (a cos u cos v, a cos u sin v, a sin u), n/2 < u < n/2, 0 < v < 2n 上，考虑纬圆C(v):=r(uo,v), 0 < v < 2n ,这里uG(0,n/2).计算沿曲,C其测地曲率kg的积分kg ds .4. (30分)设M是E3中的一正则曲面片，可以参数化为r = r(u,v).则ru,rv,n为其自然标架场，这 里n为单位法向量场。对任意一点pG M记W : TPM t TpM为Weingarten 变换。(1) 设变换W满足：M ru)i(ru)求矩阵A.(用第一、第二基本形式的系数表出。)(2) 证明下式成立：dvduru dudvru = K 十"A r | R n(ru)，这里du，dv是求协变导数，K是高斯曲率，Rn(ru)是将ru逆时针旋转念所得的向量，也即R 念(ru) =|ru,其中&)丄:=rv (rv 命命-概率论1. (10分)某班有N个士兵，每人各有一支枪，这些枪外形完全一样，在一次夜间紧急集合中，若每人随 机的取走一支枪，问至少有一个人拿到自己的枪的概率.2. (10分)设 = r G Q : r G 0, 1为0,1上的有理数集，A为其上代数，其中每个集合都是有限个互不 相交的如下形式的集合A 的并:r : a < r < b, r : a < r < b, r : a < r < b, r : a < r < b, 0 <nna < b < 1,且如果B =2 Ai为如上形式集合&的有限不交并，则P(B)=史(饥a),其中a*,b分 i=1i=1别为集合&的左右端点，证明集函数P(A),A g A是A上的有限可加集函数，但不是可数可加的.3. (15分)令1_x_(x) =e-玄, -8 < x < 8,1 cos(x), |x| < n g(x) = ,0,|x| > n12p(x,y) = (x)(y) + 寸e-n g(x)g(y), 8 <x,y < 8, 2n则关Up(x,y)试证明：(1)是二元概率密度函数，(2)边际分布都是正态分布，(3)相关系数为0, (4)两个 边际分布不独立，(5)不是二元正态密度函数.4.（15分）若&忑,. &为正的独立随机变量，服从相同分布，密度函数为p（x）,试计算k < n时:k5.（15分）设有k种不同的优惠券，每次收集到第i种优惠券的概率为Pi, EPi = 1,且每次收集之间是相i=1互独立的.若共收集了n张优惠券，那么优惠券的种类的期望是多少？（即求收集到n张优惠券后，至少 是1张的优惠券种类数的期望）6.（15分）称随机过程N" e R+为强度为入的Poisson过程（轨道右连续），若P（No = 0） = 1, Nt,t & R+为独立增量过程，且Vs < t, Nt - Ns服从均值为入（t - s）的Poisson分布.以记其第r个跳跃发生 的时刻，亦即事件Wr < t发生表明第r个跳跃出现的时刻小于等于t,从而Wr < t = Nt > r.求 随机变量Wr的分布函数F（t） = P（Wr < t）及概率密度函数p（t）.7.（10分）设某种原件的寿命（单位:天）是一个随机变量,其密度函数:f (x) = 2x,0 < x < 1.n当一个原件失效后，立即用新的原件替换.用Xi表示第i个原件的寿命，Sn = Xi表示第n个原件的 i=1r = lim Sn假设随机变量Xi, i > 1相互独立，求出失效率r.失效时刻，失效率r定义如下：科目名称：数学专业综合第5页共5页