2020年中国科学院大学数学专业综合考研真题.docx
中国科学院大学2020年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称:数学专业综合考生须知:1. 本试卷满分为150分,全部考试时间总计180分钟。2. 所有答案必须写在答题纸上,写在试题纸上或草稿纸上一律无效。试题总分值为540分,其中复分析、拓扑学、实分析、代数、微分几何、概率论各部分 试题小计分值均为90分。考生需在试题中任意选做分值和不超过150分的试题并明确标示。如果选做的试题分值和超过限制,判卷将按照所选做试题的题号顺序依次判卷直到所 做题目分值和超过限制的题目的前一题,后面所做试题视作无效考试内容。复分析1.(10 分)求将上半单位圆映为上半平面的共形映射。2.(10 分)求方程z4 - 5z + 1=0在单位圆内以及圆,z C : 1 |z| 0)(2) Jo 1+2 dx (m 0丿.(20 分)8 cosmx1+x24.(20分)设/(z)是整函数,且lim些 r+8 rn科目名称:数学专业综合第4页共5页5.6.其中M(r) = max|z|=r |f(z)|o证明f(z)是次数不超过n的多项式(15分)设/(z)是单位圆D到自身的解析函数。令:zw= z - wf *(zw) = fzfwW zw(E Dw = 1 wz,f (z,w) =z , z,w 证明:|f*(z,w)| 1,等号成立当且仅当/(z)是D上的共形映射。(15分)设f (z)在|z| R上解析,且|f(z)| M,f (0) = 0证明当|z| RR时,f (z)的零点个数不 超过拓扑学1. (15分)巳知拓扑空间之间的一个连续映射/ : X t Y.证明i)如果X紧致,则子空间/(X) C Y紧致;ii)如果X连通,则子空间/(X) C Y连通.2. (15分)对于拓扑空间X.考虑对角映射 : X t X x X, (x) = (x, x), x G X.证明X满足第二分离性公理的充要条件是,子空间、顷)U X x X是闭子空间。3. (15分)设M是Mobius带,D是2维闭圆盘。i)将M沿它的中,剪开,得到什么曲面?ii)将M的边界dM = S1与D的边界dD = S1用圆周S的恒同映射粘接,得到什么曲面?iii)粘合空间M/dM同胚于哪个空间?4. (15分)画出,面T = S1 x S1,写出该曲面的基本群,并标明其生成元。5. (15分)写出两个空间同伦等价的定义。证明同伦等价的两个空间具有同构的同调群。6. (15分)证明Brouwer不动点定理:对于n维闭球体Dn的一个连续自映射/ : Dn t Dn,方 程/(x) = x, x G Dn,存在一个解。实分析1. (20分)假设凹是X上的正测度,f : X t 0, x是可测的,Jx f叩=c,其中0 c 8, a是一个常 数.证明:8 若 0 a 1,c 若 a = 1,0 若 1 a 0,且对某个r 8, |f |r 8 成立.证明:当p T 8时,Ilf lip T|f |8.3. (15分)证明:在希尔伯特空间H中,每一个非空闭凸集E都包含唯一的一个具有最小范数的元素.4. (15分)假设 f : I t R1 是 AC 的,I = a,b,定义NF(x) = sup |f (圮f (ti-1 )|(a x b),i=1其中,上确界取遍所有的N及所有满足a = to ti 0,证明:尸8广8广8f (y)sinax /f (y)e xy dydx = a /; dy.JoJoJo a + y代数1. (15分)设k = Fq为q元有限域,V为4维知,性空间。问题:V的二维k-子空间有多少个?2. (15分)设G为正方体的刚体变换群(即多有的保持正方体的空间刚体运动组成的群)。试证明:G = S4,四元全对称群。并写出该群在正方体上的作用决定的3维表示的特征标。3. (20分)什么是分裂域(splitting field)(2)设p为素数,q为p的方霊 k = Fp。则L是k上Xq - X的分裂域,当且仅当L为q元有限 域。特别地,所有q元有限域同构。4. (20分)试证明:整数,上的一元多项式代数ZX的素理想为:(1) (0); (2) (p),(p为素数);(3) (f (X),(f (X)为ZX中的不可约多项式);(4) (p,f (X),( p为素数,f (X)模p之后为FpX 中的不可约多项式)。5. (20分)设p为素数,G为有限群。P为G的Sylow p-子群。N = NG(P)。这里,Ng(H) = g G | gHg-1 = H则 N = Ng(N)微分几何1. (15分)(1)判断球面 r = r(u, v) = (a cos u cos v, a cos u sin v, a sin u), n/2 u n/2, 0 v 0, b = 0为常数。考查曲面片r = r(u, v) = (a cos u, a sin u, bv),0 u 2n, 8 v +8,上的曲,Y(t) = (a cos t, a sin t, bt), 0 t 2n.(1) 求曲,y的曲率和挠率。(2) 设to (0, 2n).求曲面在y(to)处沿切向量Y(to)的法曲率。(3) 判断曲,Y是否为曲面上的测地,并说明理由。3. (20分)在球面 r = r(u, v) = (a cos u cos v, a cos u sin v, a sin u), n/2 u n/2, 0 v 2n 上,考虑纬圆C(v):=r(uo,v), 0 v 2n ,这里uG(0,n/2).计算沿曲,C其测地曲率kg的积分kg ds .4. (30分)设M是E3中的一正则曲面片,可以参数化为r = r(u,v).则ru,rv,n为其自然标架场,这 里n为单位法向量场。对任意一点pG M记W : TPM t TpM为Weingarten 变换。(1) 设变换W满足:M ru)i(ru)求矩阵A.(用第一、第二基本形式的系数表出。)(2) 证明下式成立:dvduru dudvru = K 十A r | R n(ru),这里du,dv是求协变导数,K是高斯曲率,Rn(ru)是将ru逆时针旋转念所得的向量,也即R 念(ru) =|ru,其中&)丄:=rv (rv 命命-概率论1. (10分)某班有N个士兵,每人各有一支枪,这些枪外形完全一样,在一次夜间紧急集合中,若每人随 机的取走一支枪,问至少有一个人拿到自己的枪的概率.2. (10分)设 = r G Q : r G 0, 1为0,1上的有理数集,A为其上代数,其中每个集合都是有限个互不 相交的如下形式的集合A 的并:r : a r b, r : a r b, r : a r b, r : a r b, 0 nna b 1,且如果B =2 Ai为如上形式集合&的有限不交并,则P(B)=史(饥a),其中a*,b分 i=1i=1别为集合&的左右端点,证明集函数P(A),A g A是A上的有限可加集函数,但不是可数可加的.3. (15分)令1_x_(x) =e-玄, -8 x 8,1 cos(x), |x| n12p(x,y) = (x)(y) + 寸e-n g(x)g(y), 8 x,y 8, 2n则关Up(x,y)试证明:(1)是二元概率密度函数,(2)边际分布都是正态分布,(3)相关系数为0, (4)两个 边际分布不独立,(5)不是二元正态密度函数.4.(15分)若&忑,. &为正的独立随机变量,服从相同分布,密度函数为p(x),试计算k n时:k5.(15分)设有k种不同的优惠券,每次收集到第i种优惠券的概率为Pi, EPi = 1,且每次收集之间是相i=1互独立的.若共收集了n张优惠券,那么优惠券的种类的期望是多少?(即求收集到n张优惠券后,至少 是1张的优惠券种类数的期望)6.(15分)称随机过程N e R+为强度为入的Poisson过程(轨道右连续),若P(No = 0) = 1, Nt,t & R+为独立增量过程,且Vs t, Nt - Ns服从均值为入(t - s)的Poisson分布.以记其第r个跳跃发生 的时刻,亦即事件Wr t发生表明第r个跳跃出现的时刻小于等于t,从而Wr r.求 随机变量Wr的分布函数F(t) = P(Wr t)及概率密度函数p(t).7.(10分)设某种原件的寿命(单位:天)是一个随机变量,其密度函数:f (x) = 2x,0 x 1相互独立,求出失效率r.失效时刻,失效率r定义如下:科目名称:数学专业综合第5页共5页