2019年西安建筑科技大学硕士研究生入学考试专业课 818高等代数考试真题.pdf
1 / 1 西安建筑科技大学 2019 年攻读硕士学位研究生招生考试试题 (答案书写在本试题纸上无效。考试结束后本试题纸须附在答题纸内交回 ) 共 1 页 考试科目 : ( 818) 高等代数 适用专业 : 数 学 一、填空题(共 6 题,每题 5 分,共 30 分) 1 设 1 2 3,x x x 为 32( ) 2 -3 2f x x x x 的根 ,则 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 3 1 3 2 3 2 3x x x x x x x x x x x x . 2. 设 25( ) ( ) , ( ) 5 4g x x c f x x q x r , 则 ( )| ( )g x f x 的条件是 . 3. 已知 矩阵 nnA , *A 为 A 的伴随矩阵 , 则 *( )=A . 4. 已知 21 2 31, ,xx 和 21 2 31 , 1 , (1 )xx 是线性 空间 3Px两组基,则由基 1 2 3, 到 基 1 2 3, 的过渡矩阵为 . 5.已知方阵 A 满足 322 3 0A A A E , 其中 E 为单位矩阵 , 则 1()AE . 6.二次型 213232221321 )()()(),( xxxxxxxxxf 的秩为 . 二、( 10 分)计算 n 阶行列式 1231 + 1 1 1 11 1 1 1 1D 1 1 1 1 11 1 1 1 1 naaaa其中 12 0.na a a 三、( 15 分)设 1 1 2 3 2 1 2( , , ) , ( , )V L V L , 求 1 2 1,V V V的基和维数,其中 1 2 3= ( 2 , - 1 , 0 , 1 ) , ( 1 , 1 , 1 , 1 ) , ( 0 , 1 , 2 , 3 ) ;12(1 , 0 ,1 , 2 ) , ( 1 , 2 , , 4 ) . 四 、 ( 15 分) 求齐次线性方程组 1 2 3 41 2 3200x x x xx x x 解空间(是 4R 的子空间 )的一组标准正交基,并将其扩充为 4R 的标准正交基 . 五 、( 15 分)设矩阵 A 的伴随矩阵为*1 0 0 00 1 0 01 0 1 00 -3 0 8A ,且 -1 23A XA XA E, 求 矩阵 .X 六 、( 20 分)设 2()MF是数域 F 上一切二阶矩阵所组成的向量空间,对于任意2 ()ab MFcd,定义 2 - 3=33a b a b ac d d c , ( 1)证明 是 2()MF上的线性变换,并且写出 在 基 11 12 21 22, , ,E E E E下的 矩阵 . ( 2)求出 的特征根 . ( 3)求出 2()MF的一个基,使 在 这 组 基 下的矩阵 是对角阵 . 七 、 ( 15 分)设 1 2 1 2( ) , ( ) , , ( ) , ( ) , ( ) , , ( ) mnf x f x f x g x g x g x P x, 证明 11( ( ) ( ) , ( ) ( ) ) 1 ( ( ) , ( ) ) 1 ,1 , 2 , , , 1 , 2 , , .m n i jf x f x g x g x f x g xi m j n 八、 ( 10 分) 设整系数线性方程组为1, 1 , 2 , , .n ij j ija x b i n 证明对任意整数 12, , , nb b b 都有整数解的充分必要条件是系数行列式 | | 1.ija 九 、( 20 分) 设 是数域 P 上线性空间 V 的线性变换,且 2=, 证明: ( 1) -1 ( 0 ) = - ( ) | V . ( 2) 1 (0 ) ( )VV. ( 3)如果 是 V 的线性变换,且 1(0) ( )V , 都是 的不变子空间,则 = .