2020年中国科学院大学高等数学(丙)考研真题.docx
中国科学院大学 2020 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称:高等数学(丙) 考生须知: 1. 本试卷满分为 150 分,全部考试时间总计 180 分钟。 2. 所有答案必须写在答题纸上,写在试题纸上或草稿纸上一律无效。 一、选择题 (本题满分 60 分,每小题 6 分。请从题目所列的选项中选择一个正确项填充空格。每题的四个备选项中只有一个是正确的,不选、错选或多选均不得分。请将你的选择标清题号写在考场发的答题纸上,直接填写在试题上无效。)f (h2 )1. 已知函数 f (x) 在 x = 0 处连续,且limh0h2= 1,则下列说法正确的是( )。 -+A f (0) = 0 且 f (0) 存 在 B f (0) = 1 且 f (0) 存 在C f (0) = 0 且 f (0) 存 在 D f (0) = 1 且 f (0) 存 在 1+ tan x - 1+ sin x2. 计算limx0x3=( )。 1A0 B. 21 C. 31 D. 43. 二元函数 f (x, y) 在点(0, 0) 处可微的一个充分条件是( )。 Alim f (x, y) - f (0, 0) = 0 . ( x, y )(0,0)B lim f (x, 0) - f (0, 0) = 0 ,且lim f (0, y) - f (0, 0) = 0 . x0xy0yClim( x, y)(0,0)f (x, y) - f (0, 0) = 0 . x2 + y2D lim fx(x, 0) - fx(0, 0) = 0 ,且lim f y(0, y) - f y(0, 0) = 0 . x0y04. 已知 D 是以c 为半径,坐标原点为圆心的圆,则 xy dxdy 的值为( )。 Dc2A0 B. 2c4 C. 2c4 D.4 科目名称:高等数学(丙)第 1 页 共 4 页 5. 设方程 x + y + z = exy ,则2 zx2+ 2 zy2的表达式是( )。 A (x2 + y2 ) exy B (x + y) exy C 2xy exy D (1+ xy) exy 6. 设a = 3 ,a = 5 ,且对任何自然数 n 1 有 na= 2 a- (n - 1)a,则幂级数 a xn01n3 n -1n -1nn =0的收敛半径为( )。 A1 B 2 C 3 D2 327. 若反常积分+ 1dx 收敛,则( )。 0xa (1+ x)bA a 1 B. a 1 且 b 1 C. a 1 D. a 1 且 a + b 1 2xx121x1-132x1111x8. 根据行列式的定义, f (x) =中 x3 的系数为( )。 A. 2 B. 1 C. -2 D. -1 9. 设 A 、 B 是 3 阶方阵,且 A = 4 , B = 3 ,则 3AT B2 的值为( )。 27A108 B. 4 C. 972 D. 324 10. 设a =(10-1)T ,矩阵 A=aa T , n 为正整数, |aI - An|为( )。 A a(2a - 2n) B. a2 C. a - 2n D. 2(2a - 2n) 二、(本题满分 10 分)求矩阵 A = 1-124(1) 特征值、特征向量;(2) 并判定所对应的特征向量是否正交? 科目名称:高等数学(丙)第 2 页 共 4 页 三 (本题满分 10 分)已知三阶方阵 A = (aij )33 , B = (bij )33 ,计算下式:(1) A* = AT ,其中 A*是 A 的伴随矩阵, AT 是 A 的转置矩阵。若 a , a, a 为三个相等的正数,求 a13 。(2) 若矩阵 A, B 等价,| A |= 0 ,求| B | 。x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 1111213 3x+ 2x+ x + x- 3x = a四、(本题满分 10 分)有线性方程组: 12345x + 2x + 2x + 6x = 32345(1) a, b 取何值时方程组无解?5x1 + 4x2 + 3x3 + 3x4 - x5 = b(2) a, b 取何值时方程组有解,并写出其全部解。五、(本题满分 10 分)已知向量组1-1 52-1 0-2 2 1 0 a = ,a132= ,a-33= ,a 15 4= ,a-65= 5 01-105-4 (1) 求向量组的秩和一个极大线性无关组;(2) 把不属于极大线性无关组的向量用极大线性无关组线性表示。六、(本题满分 10 分)设曲线 y = f (x) 与 y = x2 - x 在点(1,0)处有公共切线,计算lim nf (nn n + 2) 。 七、(本题满分 10 分)设数列an 有界,且满足条件: an an+2 , an an+3 , n N+ 。证明数列an 收敛。 八、(本题满分 10 分) 求由曲线 r = 3cosq 与曲线 r = 1 + cosq 所围图形的公共部分的面积。 科目名称:高等数学(丙)第 3 页 共 4 页 九 、(本题满分 10 分) 已 知函数 u =f (r)且 r = ln满足方程 x2 + y2 + z22u2u2u222-3 2+= (x +y +z ),求 f (x) 的表达式。x2y2z2十、(本题满分 10 分)设函数 f (x) 在区间a, b 上具有连续导数, f (a) =b f 2 (x)dx = 1。请证明:不等式 1 b f (x)2 dxb x2 f 2 (x)dx 。f (b) = 0 且有a4aa 科目名称:高等数学(丙)第 4 页 共 4 页