南京航空航天大学考研真题16年814高等代数.pdf
科目代码:814 科目名称:高等代数 第 1 页 共 3 页 南京航空航天大学 2016 年硕士研究生招生考试初试试题( A卷 ) 科目代码: 814 科目名称: 高等代数 满分: 150 分 注意: 认真阅读答题纸上的注意事项;所有答案必须写在答题纸上,写在本试题纸或草稿纸上均无 效;本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回! 一、(15 分)设矩阵 = a b A 100 5010 001 6000 , E 是四阶单位矩阵. 1计算多项式 AxExf =)( ; 2若 2 2 xx 能够整除 )(xf ,求 ba, 的值; 3若 2,1 是 A的两个特征值,求 A的其余特征值. 二、(15 分)设有向量组 . 1 1, 1 1 ,1 1 :II; 2 , 4 2 ,1 1 :I 321321 = = = = = = a a aa aa a 1求 a的值,使得向量组 I 线性相关; 2求 a的值,使得向量组 I 不能由向量组 II 线性表出; 3 在题 1 和题 2 同时成立的情况下, 将向量 T )5,2,1( = 用 321 , 线性表出,这里 “ T ” 表示转置,以下各题相同. 三、(20 分)已知非齐次线性方程组 =+ =+ =+ 13 ,1534 ,1 4321 4321 4321 bxxxax xxxx xxxx 有三个线性无关的解. 1证明方程组系数矩阵 A的秩为 2; 2求 ba, 的值; 3求方程组在超平面 0 43 = xx 上的模(长度)最小的特解. 科目代码:814 科目名称:高等代数 第 2 页 共 3 页 四、(20 分)设 n阶矩阵 BA, 满足方程 EBAAB 36 += ,这里 E 表示 n阶单位矩阵. 1证明:若 是 B 的任一特征值,则 6 ; 2证明: BAAB = ; 3若 A的伴随矩阵为 = 8030 0101 0010 0001 * A ,求 B . 五、(20 分)设 3 维实向量空间 3 R 的线性变换 使得 += 1 321 3 3 2 1 2 x axxx x x x x 1求 在基 TTT )1,1,1(,)0,1,1(,)0,0,1( 321 = 下的矩阵 A; 2若 有三个线性无关的特征向量,求 a的值; 3若 T )2,3,2( = 是 的一个特征向量,证明 A不能与对角矩阵相似,并求 A的 Jordan 标准形. 六、(20 分)设 A是 3 阶实对称矩阵,三元二次方程 0)( 3 1 ),( =+ zyx z y x Azyx 经正交变换 = w v u P z y x 化为 066 22 =+ uwv . 1求矩阵 A的全部特征值; 2求正交矩阵 P 的第一列; 3求矩阵 A. 七、(20 分)设 A是 n阶实反对称矩阵,证明: 1若 A不可逆,则 A的实特征值只能是 0; 2 2 A 的特征值均小于或等于 0; 3若 i 是 A的一个纯虚数特征值, iyx+ 是对应的特征向量(这里 1, = iRyx n ) ,则 x与 y 正交 科目代码:814 科目名称:高等代数 第 3 页 共 3 页 八、(20 分)设 BA, 是两个 n阶正定矩阵,实可逆矩阵 P 使得 , 0 0 , 2 1 = n TT BPPEAPP O 这里 E 表示 n阶单位矩阵,证明: 1 n , 21 L是矩阵 1 BA 的全部特征值; 2 BA 为正定矩阵的充分必要条件是对 1 BA 的每一个特征值 ,有 1 ; 3若 22 BA 是正定矩阵,则 BA 也是正定矩阵.