暨南大学2020年709数学分析考研真题.pdf
2020 年 招 收 攻 读 硕 士 学 位 研 究 生 入 学 考 试 试 题 ( B 卷 )*招 生 专 业 : 基 础 数 学 、 计 算 数 学 、 概 率 论 与 数 理 统 计 、 应 用 数 学 、 运 筹 学 与 控 制 论 、 统 计 学研 究 方 向 : 各 方 向考 试 科 目 名 称 及 代 码 : 709 数 学 分 析考 生 注 意 : 所 有 答 案 必 须 写 在 答 题 纸 ( 卷 ) 上 , 写 在 本 试 题 上 一 律 不 给 分 。一 、 计 算 题 ( 共 5 小 题 , 每 小 题 9 分 , 共 45 分 )1. 求 极 限 2 2 231lim 1 2n nn .2. 求 极 限 2020 2019 2020 20192020 2020limx x x x x . 3. 求 极 限 0 1(1 )lim lnx tx e dtt x .4. 求 积 分 arctan(1 )xdxx x .5. 用 三 重 积 分 求 椭 球 体 2 2 23 2 2 2( , , ) 1, , , 0 x y zV x y z a b ca b c 的 体 积 .二 、 计 算 题 ( 共 3 小 题 , 每 小 题 10 分 , 共 30 分 )1. 求 幂 级 数 2 ( 1)nn xx n n 的 和 函 数 . 2. 已 知 一 元 函 数 ( )f h 在 0h 点 可 导 , 设 0 0( ) ( )( , ) f h x f h yg x y x y 为 定 义 在 2D 上 的二 元 函 数 , 其 中 D 为 2 的 第 一 象 限 . 试 用 定 义 求 g 在 D 上 当 ( , ) (0,0)x y 时 的 极 限 .3. 用 含 参 量 积 分 计 算 20 1arctan( tan )2tan x dxx .三 、 讨 论 分 析 题 ( 共 2 小 题 , 每 小 题 10 分 , 共 20 分 )考 试 科 目 : 709 数 学 分 析 共 2 页 , 第 1 页 考 试 科 目 : 709 数 学 分 析 共 2 页 , 第 2 页 1. 设 k, 试 问 k 为 何 值 时 , 方 程 arctan 0 x kx 无 正 实 根 .2. 已 知 函 数 2 22 ,( , ) (0,0)( , ) , ( , ) (0,0)mx y x yf x y x ya x y , 其 中 m 为 正 整 数 , a 为 实 数 . 设 ( , )f x y 在(0,0) 点 处 的 方 向 导 数 的 个 数 为 n , 试 讨 论 n 与 m 和 a 的 关 系 .四 、 证 明 题 ( 共 5 小 题 , 共 55 分 )1. ( 10 分 ) 证 明 : 函 数 项 级 数 21 nxn x en 在 上 连 续 .2. ( 10 分 ) 证 明 : 第 二 型 曲 线 积 分 2 2 3/2( )L xdx ydyx y 在 区 域 : 0D x 上 与 路 径 无 关 .3. ( 11 分 ) 设 函 数 ( )f x 在 0,3上 连 续 , 在 (0,3) 内 可 导 , 且 满 足 (0) (1) (2) 3f f f ,(0) 1f , (3) 1f , 证 明 : 存 在 (0,3) , 使 得 ( ) 0f .4. ( 12 分 ) 证 明 : 对 0,x 函 数 2 20( ) ( )sinx nf x t t tdt 有 一 个 上 界 为 1(2 3)(2 2)n n . 5. ( 12 分 ) 非 极 值 点 的 稳 定 点 称 为 鞍 点 . 证 明 : 二 元 函 数 ( , ) sinf x y x y x 的 全 体 鞍 点 组成 的 集 合 与 整 数 集 可 建 立 一 一 映 射 .*题 目 结 束