2013年全国研究生入学考试考研数学(一)真题及答案.pdf
金陵南 大考 研网 更多考研资料尽在金陵南大考研网 详询 QQ:2897573825 1 / 5 2013 年全国研究生 入学考试考研数 学( 一) 真题及答 案 1. 已知极 限 0 arctan lim k x xx c x = ,其中 k ,c 为常数, 且 0 c ,则( ) A. 1 2, 2 kc = = B. 1 2, 2 kc = = C. 1 3, 3 kc = = D. 1 3, 3 kc = = 2. 曲面 2 cos( ) 0 x xy yz x + += 在点 (0,1, 1) 处的切 平面方 程为( ) A. 2 xyz += B. 0 xyz += C. 23 x yz += D. 0 xyz = 3. 设 1 () 2 fx x = , 1 0 2 ( ) sin ( 1, 2, ) n b f x n xdx n = = ,令 1 ( ) sin n n Sx b n x = = ,则 9 () 4 = S ( ) A . 3 4 B. 1 4 C. 1 4 D. 3 4 4. 设 22 1 :1 Lx y += , 22 2 :2 Lx y += , 22 3 :22 Lx y += , 22 4 :2 2 Lxy += 为四 条逆 时针 方向的 平面曲 线, 记 33 ( ) (2 ) ( 1 ,2 ,3 ,4) 63 i i L yx I y dx x dy i =+ + = ,则 1234 max , , , IIII = A. 1 I B. 2 I C. 3 I D 4 I 5. 设 A,B,C 均为 n 阶矩阵 ,若 AB=C,且 B 可逆, 则( ) A. 矩阵 C 的行 向量 组与 矩阵 A 的行 向量 组等 价 B 矩阵 C 的列 向量 组与 矩阵 A 的列 向量 组等 价 C 矩阵 C 的行 向量 组与矩 阵 B 的行 向量 组等 价 D 矩阵 C 的列向 量组 与矩 阵 B 的列 向量 组等 价 6. 矩阵 11 11 a aba a 与 200 00 000 b 相似 的充 分必要 条件为 ( ) A. 0, 2 ab = = B. 0, ab = 为任意 常数 C. 2, 0 ab = = D. 2, ab = 为任 意常 数 7. 设 123 , XXX是随机变量,且 1 (0,1) XN , 2 2 (0, 2 ) XN , 2 3 (5, 3 ) XN , 2 2 ( 1, 2, 3) = = ii PP X i ,则( ) A. 123 PPP B. 213 PPP C. 322 PPP D 132 PPP金陵南 大考 研网 更多考研资料尽在金陵南大考研网 详询 QQ:2897573825 2 / 5 8. 设随机 变量 () X tn , (1, ) YFn ,给 定 (0 0.5) aa = ,则 2 PY c = ( ) 9. 设函数y=f(x) 由方程y-x=e x(1-y) 确定 ,则 0 1 lim ( ) 1 n nf n 10. 已知y 1 =e 3x xe 2x ,y 2 =e x xe 2x ,y 3 = xe 2x 是某二阶常 系数非 齐次 线性 微分 方程 的 3 个解, 则该 方程 的通解y= 。 11. 设 。 2 2 4 sin () sin cos t xt dy t yt t t dx = = = = + 为参数,则 12. 。 2 1 ln (1 ) x dx x + = + 13. 设A=(a ij ) 是 3 阶非零 矩阵, 。 A 为A 的行 列式 , A ij 为a ij 的代数 余子 式. 若a ij +A ij =0(i , j=1,2,3), 则 A 14. 设随 机变 量 Y 服从 参数 为 1 的指 数分 布,a 为常数且大 于零 ,则 PY a+1|Y a= 。 三解答题: (15 ) (本 题满 分 10 分) 计算 dx x x f ) ( 1 0 ,其 中 f(x) . ) 1 ln( 1 dt t t x + (16)( 本题 10 分) 设数列 a n 满足 条件 : 01 2 3, 1 ( 1) 0( 2). nn a a a nn a n = , S (x)是幂 级数 0 . n n n ax = 的和函数 (1 )证 明: () () 0 ; = S x Sx (2 )求 () . Sx 的表达式 (17 ) (本 题满 分 10 分) 求函数 的极值 y x e x y y x f + + = ) 3 ( ) , ( 3 . (18)( 本题满分 10 分) 设奇函 数 f(x) 在 1,1 上具有 二阶 导数, 且 f(1)=1 ,证 明: (I)存 在 . 1 ) ( 1 , 0 = f ),使得 ( () 存在 1,1 ( ) 1. ff + = (),使得()金陵南 大考 研网 更多考研资料尽在金陵南大考研网 详询 QQ:2897573825 3 / 5 19.( 本题满分 10 分) 设直 线 L 过 A (1,0,0), B (0,1,1)两点 将 L 绕 z 轴旋 转一周 得到 曲面 , 与平 面 0, 2 zz = = 所围 成的立 体为 。 (1 ) 求曲面 的方 程; (2 ) 求 的形 心坐 标。 20. (本题满分 11 分) 设 1 01 , 10 1 a AB b = = ,当 a,b 为何值 时, 存在矩 阵 C 使得 AC-CA=B, 并求所有 矩阵 C 。 21. (本题满分 11 分) 设二次 型 22 1 2 3 11 2 2 33 11 2 2 33 ( , , ) 2( ) ( ) f x x x ax a x ax bx bx bx =+ ,记 1 2 3 a a a = , 1 2 3 b b b = 。 (1 ) 证明二 次型 f 对应的 矩阵 为 2 TT + ; (2 ) 若 , 正交 且均 为单 位向 量, 证明 f 在 正交 变换下 的标 准形为 22 12 2yy + 。 22. (本题满分 11 分) 设随机 变量 X 的概 率密 度为 2 1 , 0 3, () 0, xx fx a = 其他 令随 机变 量 2, 1, , 1 2, 1, 2 x Yx x x = = 其他 其中 为未 知参 数且 大于 零, 12 , n XX X , 为 来自总 体 X 的简单 随机 样本。 (1 ) 求 的矩 估计 量; (2 ) 求 的最 大似 然估 计量 。 参 考答 案:金陵南 大考 研网 更多考研资料尽在金陵南大考研网 详询 QQ:2897573825 4 / 5金陵南 大考 研网 更多考研资料尽在金陵南大考研网 详询 QQ:2897573825 5 / 5