昆明理工大学2020年研究生入学考试843高等代数考研真题.pdf
第 1 页 共 3页 昆 明 理 工 大 学 2020 年 硕 士 研 究 生 招 生 入 学 考 试 试 题 (A 卷 )考试科目代码:843考试科目名称:高等代数考生答题须知1 所 有 题 目 ( 包 括 填 空 、 选 择 、 图 表 等 类 型 题 目 ) 答 题 答 案 必 须 做 在 考 点 发 给 的 答 题 纸 上 , 做 在 本 试 题 册 上 无 效 。请 考 生 务 必 在 答 题 纸 上 写 清 题 号 。2 评 卷 时 不 评 阅 本 试 题 册 , 答 题 如 有 做 在 本 试 题 册 上 而 影 响 成 绩 的 , 后 果 由 考 生 自 己 负 责 。3 答 题 时 一 律 使 用 蓝 、 黑 色 墨 水 笔 或 圆 珠 笔 作 答 ( 画 图 可 用 铅 笔 ) , 用 其 它 笔 答 题 不 给 分 。4 答 题 时 不 准 使 用 涂 改 液 等 具 有 明 显 标 记 的 涂 改 用 品 。一 、 填 空 题 ( 每 小 题 3 分 , 共 30 分 )1. 设 多 项 式 ( )f x 分 别 除 以 ( 1),( 1)x x , 所 得 余 式 为 1,3, 则 ( )f x 除 以 ( 1)( 1)x x 的 余 式 为 .2. 设 4 3 2 2 45 3 1 21 1 1 15 4 7 8D , 则 41 42 43 44A A A A .3. 已 知 1 2 24 33 1 1A t , B为 3 4 矩 阵 , 且 秩 ( ) 3B , 若 秩 ( ) 2AB , 则 t .4. 设 1 2 22 1 23 0 4A , ( ,1,1)Ta , 且 A 与 线 性 相 关 , 则 a . 5. 设 有 四 个 未 知 数 的 非 齐 次 线 性 方 程 组 Ax b , 已 知 系 数 矩 阵 的 秩 为 3 , 方 程 组 有 三 个 解1 2 3, , , 其 中 1 (2,3, 4,5)T , 2 3 (1, 2,3, 4)T , 则 方 程 组 的 通 解 为 .6. 设 1 和 2 是 3 级 实 对 称 矩 阵 A的 两 个 不 同 的 特 征 值 , 1 (1,1,3)T , 2 (4,5, )Tt 是 A的属 于 特 征 值 1 2, 的 特 征 向 量 , 则 t .7. 已 知 方 阵 A满 足 2 6A A E O , 则 1( 3 )A E .8. 若 实 二 次 型 2 2 21 2 3 1 2 3 1 2( , , ) 2 4f x x x x tx tx x x 是 正 定 的 , 则 t的 取 值 范 围 是 .9. n维 欧 氏 空 间 V 中 , 满 足 条 件 ,j j j 的 正 交 基 1 2, ,., n 的 度 量 矩 阵 A . 10. 设 V 为 n维 欧 氏 空 间 , 0 为 V 中 固 定 的 向 量 , 则 子 空 间 ( , ) 0W x V x 的 维数 为 . 第 2 页 共 3页 昆 明 理 工 大 学 2020年 硕 士 研 究 生 招 生 入 学 考 试 试 题二 、 计 算 题 ( 共 1 0 5 分 )1. ( 15 分 ) 计 算 n阶 行 列 式 .a b b bb a b bb b a bb b b a 2. ( 15分 ) 设 4 P t 的 两 组 基(I) 2 2 31 2 3 4( ) 1, ( ) 1 , ( ) 1 , ( ) 1f t f t t f t t t f t t t t (II) 2 3 2 3 2 31 2 3 4( ) 1 , ( ) , ( ) 1 , ( ) 1g t t t g t t t t g t t t g t t t (1) 求 由 基 (I)过 渡 到 基 (II)的 过 渡 矩 阵 C ;(2) 求 4 P t 中 在 基 (I)和 基 (II)下 有 相 同 坐 标 的 全 体 多 项 式 .3.( 15分 ) 已 知 矩 阵 1 0 0 0 1 11 1 0 , 1 0 11 1 1 1 1 0A B , 且 矩 阵 X 满 足AXA BXB AXB BXA E , 求 X .4.( 20 分 ) 已 知 二 次 型 2 2 21 2 3 1 2 3 2 3( , , ) 2 3 3 2 ( 0)f x x x x x x ax x a 所 对 应 矩 阵 的 三 个特 征 值 为 1, 2,5 . (1) 求 a ;(2) 求 一 正 交 变 换 x Py , 将 二 次 型 化 为 标 准 形 .5. (20分 ) 当 ,a b取 何 值 时 , 非 齐 次 线 性 方 程 组1 31 2 31 2 32 13 22x xx x xx x ax b (1)无 解 ; (2)有 唯 一 解 ; (3)有 无 穷 多 解 , 并 在 无 穷 解 时 , 求 其 通 解 .6.( 20分 ) 设 3维 欧 氏 空 间 V 中 元 素 0 在 V 的 标 准 正 交 基 1 2 3, , 下 的 坐 标 为 (1, 1,0)T ,定 义 V 的 线 性 变 换 T 如 下 0 0( ) ( , ) ( )T V 其 中 0( , ) 表 示 与 0 的 内 积 . 第 3 页 共 3页 昆 明 理 工 大 学 2020年 硕 士 研 究 生 招 生 入 学 考 试 试 题(1) 求 线 性 变 换 T 在 标 准 正 交 基 1 2 3, , 下 的 矩 阵 A;(2) 求 V 的 一 组 标 准 正 交 基 1 2 3, , , 使 T 在 该 组 基 下 的 矩 阵 为 对 角 矩 阵 .三 、 证 明 题 ( 共 15分 )已 知 n nP 的 两 个 子 空 间 1 | ,T n nV A A A A P , 2 | ,T n nV A A A A P 证 明 : 1 2n nP V V .