安徽师范大学2020年硕士研究生招生考试自命题试卷真题891高等代数.docx
皇坚亶年硕士研究生招生考试初试试题科目代码:891科目名称:高等代数一、(15分)设f(x), g(x), h(x)是数域尸上的多项式.证明:_/(工)与g(x)/z(x)互素的充分必要条件是(f(x),h(x) = 1.二、(15分)设初是整数,证明:x4-mr2+l在有理数域上可约的充分必要条件是存在整数左使得m = k2 2 或 m k2 +2.a + b ab1a + b0 1 0 000三、(15分)设。,方是两个不同的实数,计算阶行列式0aba + b 00000 a + b1000 aba + b四、(20分)设坊是非齐次线性方程组AX = p (g为非零向量)的一个解,i,为,是其导出组力X = 0的一个基础解系,证明:1、 外,崗=Io - ,片=,02, ,爲=儿- ?是线性方程组AX = /3的一组线性无关 的解.2、线性方程组AX = P的任一解都可以表示为*0茨)+,其中 + 佑2 + + 化=1 kq.五、(15分)设An阶方阵,n3,才为Z的伴随矩阵.证明:1、若|=0,贝!|尸(力*)V1;2、团=|妒|且3)*=|耶釦.六、(20分)设丫是数域F上的线性空间,标的砺血是/的一组基,是丫的一个线性变换,且/(l) = $3,fg =勺,3)= /(%)=。1、写出/在基,勺,,为下的矩阵;2、求出/的值域,(/)的维数及一组基;3、判断/(r)u是否为/的一个线性子空间?并说明理由.七、(20分)设刀为3阶实对称矩阵,r-nf 0)向量 =2,以2 =-1、一1行列式俱-3E| = 0是线性方程组,x = 0的两个解.1、求正交矩阵P,使得PTP为对角矩阵;2、求矩阵4及行列式 +2 矿,其中刀*为的伴随矩阵,&为3阶单位阵.八、(15分)设4。是阶正定矩阵,实矩阵8是矩阵方程AX + XA = C的唯一解,证明:1、召是正定矩阵;2、存在77个线性无关的维行向量使得3 = %+% anan 5其中表示的转置,j = !, .九、(15分)设丿为一个左级若尔当(Jordan)块.证明:1、存在次级冨零矩阵P (即存在正整数s使得P5=0)及对角矩阵U,使得J = P + U;2、任一 阶复方阵刀都可以分解成为4 = B + C ,其中3是慕零矩阵,C相似于对角矩 阵,且 BC = CB.考生请注意:答案必须写在答题纸上,写在本试题纸上的无效!第1页,共2页