[kaoyan.com]2012年华侨大学823高等代数考研试题_pdf.pdf
1 华侨大学 2012 年硕士研究生入学考试专业课试卷 (答案必须写在答题纸上) 招生专业 基 础 数 学 科目名称 高等代数(A) 科目代码 825 一、 (本题满分 15 分) 设多项式432() 2 4 2fx x x x x=+ ,432() 2 2gx x x x x= +求 ()f x 与 ()gx的最大公因式 (),()f xgx 二、 (本题满分 15 分) 设行列式3521110523 1 32413D= , D的第 i行第 j 列元素的余子式和代数余子式分别记为ijM 和ijA 求 (1)11 12 145A AA+ ;(2)11 12 13 14M MMM+ 三、 (本题满分 20 分) 设矩阵011101110A=,求正交矩阵 P和对角矩阵 B,使得1P AP B= 四、 (本题满分 20 分) 证明:秩为 r的矩阵总可以表成 r个秩为 1的矩阵之和 五、 (本题满分 20 分) 设 ,A B都是 mn 矩阵.证明:齐次线性方程组 0AX = 与 0BX = 同解的充分必要条件是存在 m阶可逆阵 P使得 BPA= . 共 2 页 第 1 页 2 招生专业 基 础 数 学 科目名称 高等代数(A) 科目代码 825 六、 (本题满分 20 分) 设 W 是n 的一个非零子空间,而对于 W 的每一个向量12(, , , )Tnaa a 来说,或者 120naa a= ,或者每一个ia 都不等于零证明: dim 1W = 七、 (本题满分 20 分) 设 A是实数域 上的 n阶方阵,在n 上定义实数: (, ) , , .TnA = 证明:n 关于以上运算构成一个欧氏 空间的充分必要条件是 A是正定矩阵 八、 (本题满分 20 分) 设 是数域 F 上 n维线性空间 V 的线性变换 证明:(1)存在正整数 r,使得12Im Im Imrr r += = ; (2) 存在正整数 s,使得12ker ker kerss s += = ; ( 3)存在 正整数 m ,使得 Im kermmV = 共 2 页 第 2 页