2020年昆明理工大学硕士研究生入学考试自命题科目试题843高等代数.pdf
第 1 页 共 3 页昆明理工大学 2020 年硕士研究生招生入学考试试题 (A 卷 ) 考试科目代码: 843 考试科目名称 :高等代数 考生答题须知 1 所有题目 (包括填空 、 选择 、 图表等类型题目 ) 答题答案必须做在考点发给的答题纸上 , 做在本试题册上无效 。请考生务必在答题纸上写清题号。 2 评卷时不评阅本试题册,答题如有做在本试题册上而影响成绩的,后果由考生自己负责。 3 答题时一律使用蓝、黑色墨水笔或圆珠笔作答(画图可用铅笔 ) ,用其它笔答题不给分。 4 答题时不准使用涂改液等具有明显标记的涂改用品。 一、填空题( 每小题 3 分, 共 30 分) 1. 设多项式 ()fx分别除以 (1),x, 所得余式为 1,3, 则 ()fx除以 1)(x的余式为 . 2. 设 43245178D,则 41243A . 3. 已知2431At, B为 4矩阵,且秩 ()3B,若秩 ()2A,则 t . 4. 设 2304, (,1)Ta,且 A与 线性相关,则 a . 5. 设有四个未知数的非齐次线性方程组 xb, 已知系数矩阵的秩为 3,方程组有三个解123,,其中 1(,5)T, 23(,4)T,则方程组的通解为 . 6. 设 和 2是 3 级实对称矩阵 A的两个不同的特征值, 1(,)T, 2(4,5)Tt是 A的属于特征值 1,的特征向量,则 t . 7. 已知方阵 A满足 26EO,则 1(3)E . 8. 若实二次型 2212311(,)4fxxtx是正定的,则 t的取值范围是 . 9. n维欧氏空间 V中,满足条件 ,jj的正交基 2,.n的度量矩阵 A . 10. 设 为 维欧氏空间, 0为 V中固定的向量 , 则子空间 (,)0WxV的维数为 . 第 2 页 共 3 页昆明理工大学 2020 年硕士研究生招生入学考试试题 二、计算题( 共 105 分) 1. ( 15 分)计算 n阶行列式 .abba 2. ( 15 分)设 4Pt的两组基 (I) 2231234(),()1,(),()1ftffttft (II) 3 32 4,()1gtgggt (1) 求由基 (I)过渡到基 (II)的过渡矩阵 C; (2) 求 4Pt中在基 (I)和基 (II)下有相同坐标的全体多项式 . 3.( 15 分)已知矩阵101,0AB,且矩阵 X满足 AXBXE,求 . 4.( 20 分)已知二次型 22123133(,) (0)fxxxa所对应矩阵的三个特征值为 1,25. (1) 求 a; (2) 求一正交变换 xPy, 将二次型化为标准形 . 5. (20 分 ) 当 ,b取何值时,非齐次线性方程组 1321xab (1)无解; (2)有唯一解; (3)有无穷多解,并在无穷解时,求其通解 . 6.( 20 分) 设 3 维欧氏空间 V中元素 0在 的标准正交基 123,下的坐标为 (1,0)T, 定义 V的线性变换 T如下 0()(,)()V 其中 0(,)表示 与 0的内积 . 第 3 页 共 3 页昆明理工大学 2020 年硕士研究生招生入学考试试题 (1) 求线性变换 T在标准正交基 13,下的矩阵 A; (2) 求 V的一组标准正交基 2,使 T在该组基下的矩阵为对角矩阵 . 三、证明题 ( 共 15 分) 已知 nP的两个子空间 1|,TnAP, 2|,TnVAP 证明: 12n.